اگر تعریف اندازه را به یاد آورید یکی از شرط هایش این بود که $\mu(\emptyset)=0$.
از طرفی از ویژگی های اندزه باید به یاد داشته باشید که اگر $A\subset B$ مجموعه های اندازه پذیری باشند آنگاه $\mu(A)\leq \mu(B)$. همچنین از تعریف اندازه می دانیم که برای هر مجموعه اندازه پذیر $A$ داریم $0\leq \mu(A)$ . پس چون $M,N$ اندازه پذیرند و $M\subset N$ و $N$ مجموعه ای پوچ است لذا $0\leq \mu(M)\leq \mu(N)=0$ که ایجاب می کند $\mu(M)=0$.
یکی دیگر از ویرژگی های اندازه ها ویژگی زیرجمعی بودن آنها بود. یعنی $\mu(\bigcup_i A_i)\leq \sum_i\mu(A_i)$ برای هر گردایه از مجموعه های اندازه پذیر $\{A_i\}_i$.
چون $N_i$ ها پوچ هستند لذا $\mu(N_i)=0$ و از خاصیت زیرجمعی بودن داریم
$$0\leq \mu(\bigcup _i N_i)\leq \sum_i \mu(N_i)=\sum_i 0=0$$ که ایجاب می کند $\mu(\bigcup_i N_i)=0$ و چون اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر ، مجموعه ای اندازه پذیر است لذا $\bigcup_i N_i$ یک مجموعه پوچ است.
