به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
63 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

اگر fاز Rبه Rمشتق پذیر ودیفرانسل پذیر باشد ثابت کنید مشتق f لبک اندازه پذیر است ؟

مرجع: کتاب فولند
دارای دیدگاه توسط
- کتابی به نام «کتاب فولند» نداریم، احتمالا منظورتان کتاب آنالیز ریاضی فولند است.
- فرق «مشتق‌پذیر بودن» و «دیفرانسیل‌پذیر بودن» چه بوده است که نوشته‌اید «مشتق‌پذبر و دیفرانسیل‌پذیر باشد»؟
- پاسخی که برایتان گذاشته‌شده‌است نادرست بوده‌است یا چیزی از آن را متوجه نشده‌اید؟ اگر پاسخی درست بوده‌است باید آن را با کلیک کردن بر روی نشانهٔ تیک سمت راست پاسخ تأیید کنید (در حالتیکه چند تا پاسخ درست برایتان گذاشته‌شده‌باشد، آن پاسخی که برایتان مفیدتر بوده‌است را تأیید کنید) و اگر پاسخ نادرست بوده‌است یا جایی از آن برایتان نامفهوم است در قالب دیدگاه در زیر پاسخ ایراد یا پرسش‌تان را بپرسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

راهنمایی:

قبل از شروع اثبات به تعریف مشتق تابع نگاه میکنیم

$$f '(x)=\lim_{h\to}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{n\to \infty}\frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}$$

حال تعریف میکنیم: $$f_{n} : x \to n ( f\big( x + \frac{1}{n} \big) - f(x) )$$

که دنباله ${f_n}$ نقطه وار به $f'$ همگراست:

حال کافیست نشان دهیم نقطه حدی دنباله های تابعی اندازه پذیرکه بصورت نقطه وار همگرا هستند, اندازه پذیر است.

برای اثبات فوق توجه کنید داریم:

$$f'=\limsup\limits_{n\to\infty\space }f_k=\liminf\limits_{n\to\infty\space }f_k=\inf\limits_{n\geqslant1}\sup\limits_{\space k\geqslant n}f_k=\sup\limits_{n\geqslant1}\inf\limits_{\space k\geqslant n}f_k $$

حال از انجایی که $\sup$ و $\inf$ توابع اندازه پذیر انداره پذیر است بنابرین $f'$ اندازه پذیر است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...