راهنمایی:
قبل از شروع اثبات به تعریف مشتق تابع نگاه میکنیم
$$f '(x)=\lim_{h\to}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{n\to \infty}\frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}$$
حال تعریف میکنیم:
$$f_{n} : x \to n ( f\big( x + \frac{1}{n} \big) - f(x) )$$
که دنباله $\{f_n\}$ نقطه وار به $f'$ همگراست:
حال کافیست نشان دهیم نقطه حدی دنباله های تابعی اندازه پذیرکه بصورت نقطه وار همگرا هستند, اندازه پذیر است.
برای اثبات فوق توجه کنید داریم:
$$f'=\limsup\limits_{n\to\infty\space }f_k=\liminf\limits_{n\to\infty\space }f_k=\inf\limits_{n\geqslant1}\sup\limits_{\space k\geqslant n}f_k=\sup\limits_{n\geqslant1}\inf\limits_{\space k\geqslant n}f_k
$$
حال از انجایی که $\sup$ و $\inf$ توابع اندازه پذیر انداره پذیر است بنابرین $f'$ اندازه پذیر است.
