بدست اوردن زاویه خواسته شده درون مربع

Question

ABCDمربع است و اندازه ضلع ECدوبرابر BCمی باشد.اندازه زاویهxچند درجه است؟

Comments

لطفا شکل را آپلود کنید.
قسمت آپلود فایل کلا حذف شد.
باید از خود ویرایشگر برای آپلود عکس استفاده کنید.

Answer 1

درازای یال مربع را $a$ بگیرید. $BC$ که قطر مربع است برابر با $\sqrt{2}a$ می‌شود. پس $EC$ برابر با $2\sqrt{2}a$ است. اکنون با توجه به تعریف کسینوس داریم:

$$\cos(90-x)=\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$ پس $$x=90-arc\cos(\frac{\sqrt{2}}{4})$$

روش دوم: از اینکه $AE$ امتدادِ $AB$ است و یال‌های مربع موازی‌اند نتیجه می‌شود که $AE$ موازی با $CD$ است. $EC$ این دو خط موازی را قطع کرده‌است پس زاویهٔ $AEC$ با زاویهٔ $ECD$ برابر است. اکنون از تعریق سینوس داریم:

$$\sin(x)=\sin(CEA)=\frac{|AC|}{|CE|}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}$$ پس $$x=arc\sin(\frac{\sqrt{2}}{4})$$ که دقیقا با پاسخ روش یکم یکسان است (سینوس و کسینوس زوایای متمم به صورت ضربدری با هم برابرند).

Answer 2

$F$ تلاقی CE و BD است اندازه ضلع مربع $a$ است

$\triangle BFE \sim \triangle DFC$ ازتالس داریم $\frac{CF}{FE}=\frac{FD}{BF}$

ازترکیب صورت درمخرج $\frac{FD}{a}=\frac{CF}{2 \sqrt[]{2}a }$پس $CF=2 \sqrt[]{2} FD$

درمثلث قائم الزاویه $\triangle DFC :a^2=CF^2-FD^2$

پس

$a^2=7 FD^2 \rightarrow \frac{FD}{a}= \frac{ \sqrt[]{7}}{7}=tan x$

$x= tan^{-1}\frac{ \sqrt[]{7}}{7}$