با لم فاتو ثابت کنید : $ \mu (\liminf A_n) \leq \liminf \mu (A_n) $

Question

با استفاده از لم فاتو ثابت کنید: $ \mu (\liminf A_n) \leq \liminf \mu (A_n) $

Comments

چه تلاشی برای حلش داشتین؟

---

به نظرتون در لم فاتو که میگه $\int\liminf f_n\leq \liminf\int f_n$ باید دنباله $f_n$را چی بگیریم؟

---

@fa فکر کنم باید اینطوری باشه: تعریف میکنیم: $ f_n= \chi_ {A_n} $ ,در اینصورت داریم: $ \mu (lim infA_n)= \ \int liminf \chi _{A_n}d \mu \leq liminf \int \chi _{A_n}d \mu =liminf \mu (A_n) $ درسته؟

---

کاملا درسته.
اینکه $\liminf\int \chi_{A_n}=\liminf \mu(A_n)$ هم درسته. ولی دلیل تساوی$\int\liminf\chi_{A_n}=\mu(\liminf A_n)$ رو ننوشتید.
فقط کافیه توجه کنید که $\liminf A_n=\sup_{k\geq 1}\inf_{n\geq k} A_n$ و $\inf\chi_{A_n}=\chi_{\cap A_n}$  و $\sup_n\chi_{A_n}=\chi_{\cup A_n}$.

---

@faمیشه لطف کنید دلیل تساوی دوم رو یه مقدار شفاف تر توضیح بدین؟؟؟راستش من این تساوی به نظرم بدیهی اومده بود که نوشتم

Answer 1

$\int \liminf \chi_{A_n}=\int\sup_{k\geq 1}\inf_{n\geq k}\chi_{A_n}=\int \chi_{(\cup_{k\geq 1}\cap_{n\geq k}A_n)}=\mu(\cup_{k\geq 1}\cap_{n\geq k}A_n)=\mu(\liminf A_n)$