Question

رادیکال با فرجهٔ منفی به چه معناست؟ برای نمونه $\sqrt[-2]{9}$.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

فرجه را به شکل توان کسری بنویسید. وجود منفی در توان به چه معنا می‌بود؟ به معنای وارون گرفتن. پس چیزی به فرجهٔ منفی یعنی یک بر روی فرجهٔ مثبت آن چیز.

---

میشه رادیکال رو تعریف کنید.
بعدش هم فرق اون رو با ریشه بگید.
می خوام به یک تناقض با چیزی که شما گفتید برسم.

---

@aaa در دیدگاهم حرفی از تناقض نزده‌ام. رادیکال یک علامت است، ریشه نیز یعنی پاسخ یک معادله معمولا چندجمله ای. جذر دو ریشه معادله $x^2-2=0$ است، جذر دو را با رادیکال دو نمایش می‌دهند $\sqrt{2}$. تناقضی مشاهده نمی‌شود.

---

منظور من این بود که سوالی که این آقا کردند غلط است زیرا در رادیکال فرجه نمی تواند منفی باشد باید بزرگتر یا مساوی ۲ باشد و رادیکال با فرجه منفی تعریف نشده است

---

@aaa کجا چنین محدودیتی گذاشته و توجیه شده‌است؟ اگر مرجعی دارید نام ببرید. فرجهٔ رادیکال می‌تواند منفی باشد یا عدد کوچکتر از دو مانند یک، یا مثلا یک‌دوم که رادیکال با فرجهٔ یک‌دوم همان به توان دو رساندن معمولی می‌شود.

---

کتاب ریاضی دهم رشته ریاضی فزیک ایران
فصل چهارم صفحه های ۵۴ و ۵۹
قسمت های آبی رنگ
راستش برای خودمم سوال بود که چرا رادیکال با فرجه کوچکتر از ۲ نداریم اگه میشه برسی کنید درستشو به ما بگید

---

@aaa خیلی ممنون که مرجع دادید، در اولین فرصت کتاب مذکور را نگاه می‌کنم و خبرتان می‌دهم.

---

@aaa من از پیوند زیر بخش سوم کتاب، صفحهٔ ۵۴ را نگاه کردم.
http://chap.sch.ir/books/7120

کتاب برای $n\geq 2$ که $n$ عدد طبیعی است، ریشهٔ $n$ام را تعریف کرده‌است. ولی نگفته‌است که «اگر و تنها اگر» یا اینکه برای $n<2$ تعریف نمی‌شود. نکته‌ای که پشت مطالب درسی کتاب مدرسه است این است که مفاهیم را گام به گام برای دانش‌آموز پیش‌می‌برد و سطحِ دانشِ دانش‌آموز را کم‌کم کامل می‌کند. برای نمونه از همان ابتدای کار در پایهٔ یکُم دبستان برای دانش‌آموز اعداد حقیقی را تعریف نمی‌کنند. اول از اعداد طبیعی کوچک، یعد کمی بزرگتر بعد کل اعداد طبیعی، بعد اعداد صحیح، بعد کسر و اعشار و اعداد گویا بعد اعداد حقیقی شامل اعداد گنگ ... . یا حتی وقتی که ضرب یا جمع تعریف می‌شد، اول فقط بین اعداد طبیعی تعریف می‌کردید بعد بین اعداد کسری یا اعشاری. این سیرِ تکاملی برای آموزش دادن مطلب است. شما بعدها در دانشگاه با اعداد مختلط آشنا می‌شوید و می‌شنوید که اعداد منفی نیز جذر دارند! و حتی شُکّه‌کننده‌تر برایتان این می‌تواند باشد که یک عدد تنها یک ریشهٔ $n$ ندارد بلکه $n$ تا ریشهٔ $n$اُم دارد و غیره.

بنابراین درستِ مطلب این است که فرجهٔ رادیکال شرط عدد طبیعیِ بزرگتر یا مساوی دو بودن را ندارد، بلکه در کتاب درسی مقطع دهم، «هدف»، آموزش توان‌های بزرگتر یا مساوی دو است و از دانش‌آموز توقعِ دانستنِ توان‌هایِ دیگر را نداشته‌است (نه اینکه وجود ندارند).
مثلا مقایسه‌کنید با مطالبی که در مورد اتم و ساختارش در کتاب‌های علوم دبستان یاد می‌گرفتید با مطالبی که در کتاب‌های شیمی دبیرستان در این مورد یاد می‌گیرید.

---

ببخشید بازم سوال می کنم شاید یکم حوصلتون سر بره
شما گفتید رادیکال یک علامته وای من قانع نشدم آخه چرا رادیکال ۹ برابره با ۳ چرا برابر نیست با ۳-
اگه قراردادیه خب تعریف دقیق این قرارداد چه

---

@aaa مشلکی نیست، پرسیدن هیچ‌وقت بد نیست. یک نکته قبل از اینکه پاسخ پرسش‌تان را بدهم. برای اینکه فرد خاصی را در دیدگاهتان خطاب کنید و سیستم آگاهی‌رسان سایت به فرد مخاطب اطلاع دهد که توسط فردی در جایی مورد خطاب قرار گرفته است و متوجه پیام‌تان شود از علامت اتسای (علامتی که برای ایمیل استفاده می‌کنید) و سپس بدون گذاشتن هیچ فاصله‌ای بین این علامت، نام کاربری فرد مورد نظر را تایپ کنید، مانند کاری که من در دیدگاهم کرده‌ام.

«رادیکال» اسم علامتِ $\sqrt{}$ است، مثلا در جبر رادیکال یک ایده‌آل (که از جنس مجموعه است نه عدد و یک سری خواص نسبت به یک سری اعمال دارد) نیز تعریف می‌کنیم، مثلا اگر ایده‌آل با $I$ نمایش داده‌شده‌باشد، آنگاه رادیکال این ایده‌آل با $\sqrt{I}$ نمایش داده می‌شود و اصلا معنای جذر عدد ندارد چون $I$ اصلا عدد نیست، حتی مجموعه‌ای هم نگاه کنیم $\sqrt{I}^2$ الزاما همان $I$ نخواهد شد! پس اینکه رادیکال علامت است، به این معنا گفتم. اما اینکه چرا رادیکالِ نُه (به معنای جذرِ دو یا معادلا ریشه‌های دومِ نُه) را ۳ گذاشته‌است، دلیل این است: اگر با مفهوم ضابطه (نگاشت) و تابع آشنا باشید، می‌دانید که هر ضابطه‌ای الزاما تابع نیست! مثلا $f(x)=x^2$ به ازای هر ورودیِ عددِ حقیقی، یک خروجیِ عدد حقیقی دارد، پس تابع است. اما $f(x)=\sqrt{x}$ برای هر عدد مثبت حقیقی دو خروجی عدد حقیقی دارد، مثلا همان ۹ که هم ۳ و هم ۳- درست اند. پس تابع نیست. برای همین در برخی کاربردها و در برخی درس‌های کتاب شما هم‌دامنهٔ $f$ را به مجموعه‌ای کوچکتر محدود می‌کنید مثلا فقط اعداد حقیقی مثبت، در اینصورت جواب فقط ۳ است. ولی ممکن است در کاربرد دیگری هم‌دامنه به اعداد حقیقی منفی محدود شود پس جواب فقط ۳- است، و اگر هم به کل اعداد حقیقی نیاز داشته باشید آنگاه تابع ندارید بلکه یک نگاشت دارید و هر دوی ۳ و ۳- جواب هستند. همینطور اگر هم‌دامنه را از اعداد حقیقی بزرگتر کنید مثلا به اعداد مختلط، آنگاه ۱- که توسط این ضابطه به چیزی نمی‌رفت و در واقع اصلا در دامنه‌اش نبود، الآن می‌تواند وارد دامنه شود و دقیقا دو جواب خواهد داشت $i$ و $-i$. باید توجه کنید که در مسأله دامنه و هم‌دامنهٔ ضابطه‌هایتان چه هستند. پست‌های زیادی در همین سایت چه در مورد دامنه و هم‌دامنه چه در مورد تابع و نگاشت و چه در مورد جذر و ریشه و غیره می‌توانید پیدا کنید که پاسخ‌هایشان می‌تواند اطلاعات جدیدی بهتان بدهند.

Answer 1

رادیکال عدد $a$ به فرجهٔ $b$ یعنی عدد $a$ به توان وارون $b$. توان منفی هم به معنای وارون عبارت با توان مثبت است. پس $$\sqrt[-2]{9}=9^{\frac{1}{-2}}=\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$$ برای کاربری که می‌گوید فرجهٔ رادیکال باید بزرگتر یا مساوی ۲ باشد: چنین شرطی وجود برای استفاده از نماد رادیکال وجود ندارد. حتی در نرم‌افزارهای ریاضی نیز چنین محدودیتی اعمال نمی‌شود. برای نمونه در زیر تصویر استفاده از رادیکال در نرم‌افزار Maple را می‌بینید.