راهنمایی:
با استفاده از ماتریس ها میتوان خیلی تابع چند متغیره یک به یک ساخت.
حالت بسیار مقدماتی:
$$T_A:\mathbb R^{n}\to \mathbb R^{n}$$
$$f(x)=Ax$$
که $A$ ماتریس وارون پذیر می باشد.
ولی طبیعتا هیچ تابع خطی یک به یک از $\mathbb R^2$ به $\mathbb R$ وجود ندارد.(اثبات قضیه رتیه و پوچی)
حالت دوم:
از انجایی که عدد اصلی $\mathbb R^2$ با $\mathbb R$ هست بنابرین یک تابع دوسویی بین $\mathbb R^2$ با $\mathbb R$ وجود دارد.(این از وجودش)
از اونجایی که یک تناظر یک به یک بین بازه باز $(0,1)$ با $\mathbb R$ وجود دارد بنابرین میتوانیم ظابطه تابع را اینطور تعریف میکنیم.
$$ f: (0,1)(0,1)\to(0,1)$$
$$f(0.x_1x_2x_3....., 0.y_1y_2y_3.....)=x_1y_1x_2y_2x_3....$$
که اثبات میشود $f$ یک به بک هست (رجوع کنید به کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای ان شووینگ تی.لین و یو-فنگ.لین)
حالت 3 (شکل گسسته):
$$T_A:\mathbb N * \mathbb N \to \mathbb N$$
با ضابطه زیر را یک به یک است.
$$f(a,b)=2^a3^b$$
نکته: ولی هیچ تابع پیوسته ای از $\mathbb R^2$ به $\mathbb R$ وجود ندارد.
