یافتن قرینه ی نقطه نسبت به خط

Question

چه فرمولی برای یافتن قرینه ی یک نقطه نسبت به خطی با معادله ی معلوم پیشنهاد می کنید؟

Answer 1

به فرض نقطه و خط‌مان $A=(x_A,y_A)$ و $\ell\colon ax+by+c=0$ باشند.

کافیست به اندازهٔ دو برابرِ فاصلهٔ نقطهٔ $A$ از خط $\ell$ موازی با خطی عمود بر $\ell$ حرکت کنیم تا به قرینهٔ آن یعنی $A'$ برسیم. فاصله را از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط $$d=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ بدست می‌آوریم. برای حرکت موازی با یک خط عمود کافیست یک بردار موازی با خطوط عمود بر $\ell$ در جهت مناسب برداریم. بردار هادی خط $\ell$ که با شیب خط در ارتباط است برابر با $\vec{v}=(-a,b)$ است (بردار را یکه نکرده‌ایم). اکنون با توجه به اینکه نقطه‌ٔ $A$ در کدام سمت خط قرار دارد، برداری که به دنبالش هستیم دوران $90$ درجه یا $-90$ درجهٔ بردار هادی خواهد بود، به ترتیب آنها را با $\vec{v}_1$ و $\vec{v}_2$ نمایش دهید. داریم $$\vec{v}'_1=(b,a),\quad\vec{v}'_2=(-b,-a)$$ اکنون داریم $$A'=A+\frac{2d}{|\vec{v}'_i|}\vec{v}'_i$$ توجه کنید که $|\vec{v}'_1|=|\vec{v}'_2|=\sqrt{a^2+b^2}$ پس $$A'=(x_A,y_A)\pm\frac{2|ax_A+by_A+c|}{a^2+b^2}(b,a)$$ این فرمول را باز ساده‌تر نیز می‌توانید بکنید. ایدهٔ دیگری که می‌توانید استفاده کنید در کتاب هندسهٔ تحلیلی پیش‌دانشگاهی آمده‌است. در فصل یک زمانیکه قرینهٔ یک بردار نسبت به امتداد بردار دیگری را معرفی و محاسبه می‌کنید. در اینجا نیز بردار کافیست قرینهٔ بردار $OA$ نسبت به امتداد بردار هادی خط را بیابید. اما اگر پرسش برای دانش‌آموز سال یکم دبیرستان است باز هم با همان ایدهٔ نخستی که گفتیم می‌تواند بدون داشتن یک فرمول یک‌ضرب، پرسش را حل کند. چون فرمول فاصلهٔ نقطه از خط و بردار هادی خط و بردار هادی خط عمود و جمع بردارها را می‌داند.