به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
325 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

چه فرمولی برای یافتن قرینه ی یک نقطه نسبت به خطی با معادله ی معلوم پیشنهاد می کنید؟

مرجع: مبتکران

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

به فرض نقطه و خط‌مان $A=(x_A,y_A)$ و $\ell\colon ax+by+c=0$ باشند. enter image description here

کافیست به اندازهٔ دو برابرِ فاصلهٔ نقطهٔ $A$ از خط $\ell$ موازی با خطی عمود بر $\ell$ حرکت کنیم تا به قرینهٔ آن یعنی $A'$ برسیم. فاصله را از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط $$d=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ بدست می‌آوریم. برای حرکت موازی با یک خط عمود کافیست یک بردار موازی با خطوط عمود بر $\ell$ در جهت مناسب برداریم. بردار هادی خط $\ell$ که با شیب خط در ارتباط است برابر با $\vec{v}=(-a,b)$ است (بردار را یکه نکرده‌ایم). اکنون با توجه به اینکه نقطه‌ٔ $A$ در کدام سمت خط قرار دارد، برداری که به دنبالش هستیم دوران $90$ درجه یا $-90$ درجهٔ بردار هادی خواهد بود، به ترتیب آنها را با $\vec{v}_1$ و $\vec{v}_2$ نمایش دهید. داریم $$\vec{v}'_1=(b,a),\quad\vec{v}'_2=(-b,-a)$$ اکنون داریم $$A'=A+\frac{2d}{|\vec{v}'_i|}\vec{v}'_i$$ توجه کنید که $|\vec{v}'_1|=|\vec{v}'_2|=\sqrt{a^2+b^2}$ پس $$A'=(x_A,y_A)\pm\frac{2|ax_A+by_A+c|}{a^2+b^2}(b,a)$$ این فرمول را باز ساده‌تر نیز می‌توانید بکنید. ایدهٔ دیگری که می‌توانید استفاده کنید در کتاب هندسهٔ تحلیلی پیش‌دانشگاهی آمده‌است. در فصل یک زمانیکه قرینهٔ یک بردار نسبت به امتداد بردار دیگری را معرفی و محاسبه می‌کنید. در اینجا نیز بردار کافیست قرینهٔ بردار $OA$ نسبت به امتداد بردار هادی خط را بیابید. اما اگر پرسش برای دانش‌آموز سال یکم دبیرستان است باز هم با همان ایدهٔ نخستی که گفتیم می‌تواند بدون داشتن یک فرمول یک‌ضرب، پرسش را حل کند. چون فرمول فاصلهٔ نقطه از خط و بردار هادی خط و بردار هادی خط عمود و جمع بردارها را می‌داند.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...