به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
38 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

اگر$G$ یک گراف ساده با ماتریس مجاورت$A$ باشد آنگاه مقادیر ویژه $G$ همگی صحیح جبری اند.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

شما تعریف «صحیح جبری» بودن را خوانده‌اید و همین‌طور تعریف «مقدار ویژه»؟

صحصح جبری بودن روی یک حلقه یعنی ریشهٔ یک چندجمله‌ای تک متغیرهٔ تکین (با ضریب پیشروی یک) و ضرایب از آن حلقه باشد.

مقدار ویژه نیز ریشهٔ چندجمله‌ای مشخصه است که تکین نیز است و ضرایبش از حلقه‌ای که درایه‌های ماتریس از آن می‌آید هست.

اکنون از ترکیت این دو کار تمام است. هیچ چیزی نیز از گراف نیاز ندارد. برای یک گراف شما یک ماتریس همسایگی (مجاورت) دارید و این ماتریس مقدار ویژه دارد و مقدار ویژه نیز یک عدد صحیح جبری روی حلقهٔ درایه‌های این ماتریس است. اما پیش‌فرض ماتریس همسایگی درایه‌هایش تنها صفر و یک هستند (و در صورت loop داشتن دو و در حالت داشتن یال موازی عدد صحیح نامنفی دلخواه). بنابراین حلقه‌تان $\mathbb{Z}$ می‌شود و نه هر حلقهٔ دلخواهی. متوجه نمی‌شوم که چرا عدد صحیح جبری (به طور عام) در متن پرسش آورده‌اید. بد نبود اگر مرجعی که در آن به چنین گزاره‌ای برخورد کرده‌اید را اشاره می‌کردید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...