دسته خط در هندسه تحلیلی در کتاب یازدهم خیلی سبز پایه سوال۵۷۹

Question

اگر خط ax+by+c=0به هر دو دسته خطوطm-1)x+(m-2)y=4)و n-1)y+(2+n)x=3)متعلق باشد.معادله خط چه چیزی هست؟این سوال به صورت تشریحی برام جواب میدین خیلی برام مهمه واقعا ممنون میشم ازتون البته کتاب x+y=0 بدست اورده ولی معلم میگه اشتباهه و یه شرطو رعایت نکرده من اشنایی ندارم میشه کمکم کنید؟

Comments

- مرجع را در بخش مرجع وارد کنید نه در عنوان پرسش، عنوان پرسش باید اشارهٔ کوتاهی به خود پرسش داشته باشد.
- برای نوشتن عبارت‌های ریاضی به بخش راهنمای تایپ ریاضی سایت نگاهی بیندازید.

Answer 1

پاسخ کتاب اشتباه است و در واقع اگر معادله‌ها را اشتباه ننوشته‌باشید پاسخ درست این است که هیچ خطی در اشتراک این دو دسته‌خط وجود ندارد.

دو خطِ $ax+by+c=0$ و $a'x+b'y+c'=0$ با هم برابرند اگر و تنها اگر $(a,b,c)$ مضرب اسکالر برابری از $(a',b',c')$ باشد. در نتیجه اگر خطی در دو دسته‌خط شما باشد باید عددِ $\lambda$ای باشد که $$(m-1,m-2,-4)=\lambda(2+n,n-1,-3)$$ روشن است که در این صورت باید $\lambda=\frac{4}{3}$ باشد ولی پس از آن دستگاه دو معادله دو مجهول زیر را داریم. $$\left\{\begin{array}{l}3m-3=8+4n\\ 3m-6=4n-4\end{array}\right.$$ که مجموعهٔ پاسخ‌هایش خالی (تُهی) است. بنابراین هیچ خطی در اشتراک این دو دسته‌خط نیست. بعلاوه خطی که کتاب به عنوان پاسخ داده‌است گذرنده از مبدأ است در حالیکه خط‌های عضو آن دو دسته‌خط هیچ‌کدام نمی‌توانند از مبدأ بگذرند.