روش انتگرالگیری گاوسی بصورت $ \int_a^b f(x)dx \simeq \sum_{i=1}^n c_{i} f( x_{i} ) $ است که برای
$ n $ های متفاوت جوابها دقت های متفاوتی دارند. باید در سوال ذکر میکردید برای چه $ n $ ی جواب رو میخواهید.اگر در بدست آوردن چندجمله ای های متعامد وزن را $ e^{-x} $ درنظر بگیریم چند جمله ای های لاگر بدست می آیند. برای $n=2 $ اگر صفرهای $ l_{2} $ را بدست آوریم نقاط بدست می آیند لذا
نقاط برابرند با:
$ x_{1} =0.5857864 \ \ \ \ \ x_{2} =3.4142136 $
ضرایب برابرند با
$c_{1} =0.8535534 \ \ \ \ \ c_{2} =0.1464466 $
لذا حاصل برابر است با:
$$\begin{align} \int_0^ \infty e^{-x} sinx^2 dx& =c_{1} f( x_{1} ) +c_{2} f( x_{2} )\\
&= 0.8535534e^{-0.5857864 } sin(0.5857864 )^2\cdots\\
&\cdots+0.1464466 e^{-3.4142136 } sin(3.4142136 )^2\\
&= 0.8535534 \times 0.56\times 0.00598898658849727\cdots\\
&\cdots+0.1464466 \times 0.033 \times 0.202049852876128 \\
&=0.0028626751244931+0.00097645370594244\\
&=0.00383912883043554\end{align}$$
برای $n=3 $ اگر صفرهای $ l_{3} $ را بدست آوریم نقاط بدست می آیند لذا
نقاط برابرند با:
$ x_{1} =0.4157746 \ \ \ \ \ x_{2} =2.2942804 \ \ \ \ \ x_{3} =6.2899451 $
ضرایب برابرند با
$c_{1} =0.7110930 \quad c_{2} =0.2785177 \quad c_{3} =0.0103893 $
لذا حاصل برابر است با:
$$\begin{align} \int_0^ \infty e^{-x} \sin x^2 dx& =c_{1} f( x_{1} ) +c_{2} f( x_{2} )+c_{3} f( x_{3} )\\
&= 0.7110930e^{-0.4157746 } sin(0.4157746)^2\cdots\\
&\cdots+0.2785177e^{-2.2942804 }\sin(2.2942804)^2\cdots\\
&\cdots +0.0103893e^{-6.2899451 } \sin(6.2899451)^2\\
&= 0.7110930 \times 0.66 \times 0.00301712023473285\cdots\\
&\cdots+ 0.2785177 \times 0.1 \times 0.0917401150472154\cdots\\
&\cdots+0.0103893 \times 0.0019 \times 0.636931789139616\end{align}$$
مرجع برای نقاط و ضرایب:آنالیز عددی بوردن صفحه ی 753
