Question

ثابت کنید اگر تابع f در a پیوسته باشد و f(a)>0 باشد f در یک همسایگی a مثبت است?

Comments

عنوان باید همان سوال باشد فقط در یکی و جمله کوتاه. وقتی صورت سوال کوتاه است می توانید همان سوال را در عنوان بنویسید. الان عنوان چه ربطی به سوال دارد؟
برچسب مشتق اینجا چه کاربردی دارد؟
اینطوری نظم سایت به هم میخورد. شما باید به قوانین سایت احترام بگذارید.
جواب سوال شما کوتاه تر از نوشتن این توضیحات بود. اگر سوال را درست می نوشتید الان پاسخ گرفته بودید ولی دیگه وقتی برای من برای جواب دادن باقی نمیمونه.

---

استاد ببخشید تازه عضو شدم و نمی دانستم دیگه تکرار نمی شود سئال را درست کردم اگر میشه یه کمکی در حل سوال بکنید؟؟؟؟

Answer 1

به طور کلی اگر یک تابع در همسایگی(محذوف) $a$ دارای حد مثبت باشد یعنی $\lim_{x\to a}f(x)=L$ که $L>0$ در اینصورت $f$ در همسایگی(محذوف)$a$ مثبت است. برای اثبات با توجه به تعریف حد و در نظر گرفتن $\epsilon=\frac L2$ می توان $\delta>0$ ی یافت که برای هر $x$ در همسایگی (محذوف) $0< |x-a|< \delta$ داشته باشیم: $$|f(x)-L|< \delta=\frac L2$$

بنابراین در این همسایگی محذوف داریم $-\frac L2< f(x)-L$ یعنی $0< \frac L2< f(x)$