به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
8,010 بازدید
در دبیرستان توسط User94 (89 امتیاز)
ویرایش شده توسط User94

سلام، آيا براى بدست آوردن وارون تابع زير روشى غير از استفاده از فرمول كاردانو هست؟

$y=x^{3}+2x^{2}+7x-1$
توسط rafig256 (646 امتیاز)
+1
@Mathman لطفا با همین کاردانو حلش رو بنویسید. شاید با دونستن جواب بشه راه حل های دیگری به دست آورد
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@Mathman البته باید توجه کنید که فرمول کاردانو سه‌ریشه برای یک معادلهٔ چندجمله‌ای درجهٔ ۳ با ضرایب ثابت به شما می‌دهد، بنابراین اگر دلیلی برای انتخاب یکی از سه ریشه نداشته‌باشید، به طور پیش‌فرض با فرمول کاردانو برای وارون «تابع» بدست نمی‌آورید. تلاشتان با فرمول کاردانو را قرار بدهید بد نیست.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)

چون خودتان روش یافتن وارون با استفاده از فرمول کاردانو را ننوشتید، این را برای سایر کاربرها که ممکن است بخواهند در این مورد بدانند می‌گذارم.

ابتدا باید وارون‌پذیریِ تابع را بررسی کنیم. به ازای یک $y\in\mathbb{R}$-ِ دلخواه تعریف کنید $$f(x)=x^3+2x^2+7x-1-y$$ داریم $f'(x)=3x^2+4x+7$ که تابع درجه دو با دلتای منفی و ضریب پیشروی مثبت است. پس مشتق تابع‌مان همواره مثبت است که یعنی $f$ افزایشیِ اکید (اکیداً صعودی) است. در نتیجه برابریِ $f(x)=0$ که هم‌ارز با $x^3+2x^2+7x-1=y$ است یک پاسخ یکتا دارد و چون این مطلب را برای $y$ دلخواه ثابت کردیم پس یعنی تابع‌تان یک‌به‌یک است و در نتیجه وارون‌پذیر. اکنون فرمول‌های کاردانو برای حل معادله‌های درجه ۳ را از یک منبع مانند این پیوند ویکی‌پدیا بخوانید. این فرمول به ما سه ریشه می‌دهد که تنها یکی از آنها برای حالت ما حقیقی است. به جای انجام دستی محاسبات، با استفاده از نرم‌افزار Maple ریشهٔ حقیقی به شکل زیر بدست می‌آید. $$\frac{1}{6}\,\sqrt [3]{548+108\,y+12\,\sqrt {81\,{y}^{2}+822\,y+4269}}-{\frac {34}{3\,\sqrt [3]{548+108\,y+12\,\sqrt {81\,{y}^{2}+822\,y+4269}}}}-\frac{2}{3} $$ توجه کنید که دلتای عبارت درجهٔ دوی زیر جذرِ $y$ دار منفی است و ضریب‌پیشروی این عبارت مثبت است، پس حاصل این جذر حقیقی است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...