تابع یک به یک و وارون پذیری

Question

آیا تابع یک به یک همیشه وارون پذیر است؟ به عبارت دیگر میتوان تابعی یافت که یک به یک باشد ولی وارون پذیر نباشد؟ در مبانی ریاضیات نوشته که تابعی معکوس پذیر است که یک به یک و پوشا باشد و تنها یک به یک بودن تابع نشان دهنده وارون چپ تابع است. اگه در این مورد توضیحی بدید ممنون میشم.

Comments

تعاریف ریاضی نقض ناپذیرند ، و طبق تعریف تمام توابع یک به یک ، واران پذیرند .
یعنی یک به یک بودن و واران پذیری هم ارز یک دیگرند.

Answer 1

همان گونه که می‌دانید دامنه بحث مهمی است. یک ضابطهٔ $f$ به ویژه از دید نظریهٔ مجموعه‌ای با دامنهٔ $D$ زمانی تابع می‌بود که دو شرط را داشته باشد، شرط نخست این بود که برای هر عضو از $D$ تعریف شده باشد. در درس ریاضی عمومی ۲ نیز این مطلب اشاره شده‌است که متأسفانه برخی دوستان فقط قسمت دوم آن را به ذهن می‌سپارند که برای هر عضو از دامنه تنها یک عنصر از هم‌دامنه نسبت داده شود.

اکنون یک تابع که یک به یک است تنها می‌توانید نتیجه بگیرید که برای هر عضو از هم‌دامنه یک عضو از دامنه هست که توسط $f$ پوشانده شود. اما این یک‌به‌یکی نتیجه نمی‌دهد که برای هر عضو از هم‌دامنه حتما یک عضو از دامنه هست که او را پوشش دهد. لذا الزامی ندارد که ضابطهٔ وارونی که برای تابع یک به یک‌تان می‌نویسید روی کل هم‌دامنه تعریف شده باشد و لذا تابعی بر هم‌دامنه باشد.

اینکه چرا یک به یکی وارونِ چپ را نتیجه می‌دهد و این تناقضی با الزاما وارون‌پذیر نبودن ندارد این است که برای وارون چپ بودن شما فقط نیاز دارید $g\circ f=id$ برقرار باشد (که $id$ در اینجا همانی بر دامنه است). برای این کار شما $g$ را روی عناصری که در بردِ $f$ هستند به روش معمول تعریف کنید (با کمک یک‌به‌یکیِ $f$) و برای سایر عناصر یک عضو دلخواه از دامنه را نسبت دهید زیرا اصلا در ترکیب نوشته شده قرار نیست استفاده شوند که مقدار نسبت‌داده‌شده به آنها بخواهد مشکلی ایجاد کند و برای وارون چپ بودن هیچ جا چیزی که یک‌به‌یک بودن را لازم داشته باشد از $g$ نیست. اکنون $g$ روی کلِ هم‌دامنه تعریف شده‌است و ترکیب را از چپ همانی کرده‌است. اکا توجه کنید که این تابع اگر $f$ پوشا نباشد وارون راست نیست چون چند عضو از هم‌دامنه را به یک عضو از دامنه می‌برد که با $f$ به یک عضو از هم‌دامنه برخواهند گشت. اگر قرار باشد ترکیب از راست همانی روی هم‌دامنه شود، پس با متفاوت بودن آن چند عضو به تناقض می‌خوریم.

پرسش خوبی پرسیدید، چون خیلی زیاد دیده‌ام این پرسش برای افراد مطرح شود.