به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
35 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط m.gh

یک رشته عددی که شاملn عدد از صفر تا نه است معتبر است اگر که تعداد صفرهای آن زوج باشد،برای تعداد رشته های n رقمی یک رابطه ی بازگشتی بنویسید.

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

نخست توجه کنید که رشته داریم نه عدد پس مشکلی با داشتن صفر در نخستین مکان از سمت چپ نداریم. تعداد رشته‌های پذیرفتنیِ $n$-رقمی را با $f(n)$ نمایش دهید. برای ساخت یک رشتهٔ پذیرفتنی $n$ رقمی ابتدا یک جایگاه آن را تعیین کنید. بیایید جایگاه نخست از سمت چپ را تعیین کنیم. اگر این جایگاه ناصفر باشد که به ۹ طریق ممکن است آنگاه کافیست یک رشتهٔ $(n-1)$-رقمی پذیرفتنی بردارید برای سایر جایگاه‌هایش بگذاریم، رشتهٔ حاصل تعداد زوجی صفر خواهد داشت. پس تا اینجا $9\times f(n-1)$ رشتهٔ پذیرفتنیِ $n$-رقمی ساختیم. اکنون اگر جایگاه نخست صفر باشد که به یک طریق ممکن است، کافیست یک رشتهٔ $(n-1)$-رقمی با تعداد فرد صفر برای سایر جایگاه‌هایش برداریم. تعداد رشته‌های $(n-1)$-رقمی با تعداد فرد صفر برابر است با $10^{n-1}-f(n-1)$. از آنجاییکه این دو حالتیکه گرفتیم هیچ عدد مشترکی نمی‌سازند و جایگاه نخست حتما یا باید صفر یا ناصفر باشد پس تمام حالت‌ها را شمرده‌ایم و چیزی تکرار نکرده‌ایم. پس داریم: $$\begin{array}{lll}f(n) & = & 9f(n-1)+10^{n-1}-f(n-1)\\ & = & 8f(n-1)+10^{n-1}\end{array}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...