دوره تناوب برای $ \frac{1}{2} =0.5=04 \overline{9} , \frac{1}{3} =0. \overline{3} $ مساوی $1$ است.حالا:
$if :p \neq 2,5 \Rightarrow (p,10)=1 \Rightarrow 10^{ \phi (p)} \equiv 1(mod p) \Rightarrow p | 10^{p-1}-1$
$ \Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{p} \frac{10^{p-1}-1}{10^{p-1}-1} = \frac{10^{p-1}}{p} \frac{1}{10^{p-1}-1}= \frac{10^{p-1}-1}{p} \sum \frac{1}{10^{(p-1)k}}$
که $ \sum $ از$1$ تا $ \infty $ است.بنابر این:
$ \frac{1}{p} = \frac{10^{p-1}-1}{p} \times 0. \overline{000...01}$
توجه شود که در دوره تناوب بالا تعداد صفرها $p-2$ است بنابر این برای اینکه دوره تناوب مساوی $p-1$ باشد باید تعداد ارقام $ \frac{10^{p-1}-1}{p} \times 0.000...01=$ مساوی $p-1$ باشد.لذا باید تعداد ارقام $ \frac{10^{p-1}-1}{p} $ مساوی $p-1$ و یا $[Log \frac{10^{p-1}-1}{p} ]=p-2$
$ \Box $
