اگر p اول و 13p+1مکعب کامل باشد چه اعدادی به جای pقرار می گیرند؟

Question

اگر p اول و 13p+1مکعب کامل باشد چه اعدادی به جای p می توانندقرار بگیرند؟

تلاش خودم. به دو عدد ۲ و۲۱۱ رسیدم. $۱۳ p+1= x^{3} $

$13p= x^{3}-1=(x-1)( x^{2}+x+1) $

$x-1=13 \rightarrow x=14 \rightarrow P=211$ $ x^{2}+x+1=13 \rightarrow x=-4وx=3 $ که به ازای x=3مقدارpبرابر ۲ می شود جواب کامل هست یا بازم اعدادی بدست می ایند?

Answer 1

از اینکه $13p+1$ عددی مثبت است پس مقدار $x$ هم مثبت است. به سادگی دیده می شود که $x$ عددی طبیعی است. پس دو عاملی که در تجزیه نوشتید صحیح هستند.پس هر عامل اولی که $(×^2+x+1 )$ یا $ (x-1 ) $ را بشمارد باید $۱۳p$ رو هم بشمارد یعنی یا ۱۳ است یا p. (به سادگی میتوان بررسی کرد که امکان ندارد $۱۳p$ یکی را بشمارد و دیگری برابر یک باشد. پس جواب شما کامل است.