Question

فرض کنید S مجموعه همه مربع‌های کاملی که به سه رقم آخر ۲۵۶ ختم می‌شود و T مجموعه اعدادی باشد که از حذف سه رقم ۲۵۶ از سمت راست اعداد مجموعه S ایجاد شده است. دهمین جمله کوچک T ،سه رقم سمت راست این عدد کدام است؟

Comments

دهمین جمله کوچک یعنی چی؟

---

دهمین جمله  کوچک یعنی بعد از پیدا کردن n در مجموعه T به پیمانه 500 ,k را ۵ در نظر بگیریم


$n \equiv \mp 16   mod500 $

---

این جمله یعنی چه؟ $n$ چیه؟

Answer 1

توجه کنید که:

$S= \{ n^{2} | n^{2} \equiv 256 mod1000\} $

نتیجه می‌شود$ n^2 $به پیمانه ۸ برابر 0 و به پیمانه ۱۲۵ برابر ۲۵۶ است، از آنجا نتیجه می‌شود n به پیمانه ۴ برابر 0 و به پیمانه ۱۲۵ برابر$ \pm 16$ است.بنابراین n به پیمانه ۵۰۰ برابر $ \pm 16$ در نتیجه به فرم $500k \pm 16$ که برای هر k طبیعی هم علامت مثبت و هم منفی و به ازای k مساوی صفر علامت مثبت قابل قبول است. در نتیجه دهمین مقدار کوچک n برابر است با $(500×5)-6=2484$

$2484^2=6170256$

Comments

پیمانه 125 چرا 16 می باشه؟

---

اگر مربع عددی به پیمانه ۱۲۵ برابر ۲۵۶ باشد خود آن عدد به پیمانه ۱۲۵ برابر چیست؟

جواب این است که خود عدد به پیمانهٔ ۱۲۵ یا برابر ۱۶ است یا برابر ۱۰۹.

 تبدیل دستگاه

شرط $$x^2 \equiv 256 \pmod{125}$$ را می‌توان به صورت $$x^2 \equiv 16 \pmod{125}$$ هم نوشت، چون $$256 \equiv 16 \pmod{125}$$ است. در نتیجه در واقع در حال حل معادلهٔ درجهٔ دو پیمانه‌ای $$x^2 \equiv 16 \pmod{125}$$ هستیم.

 پیدا کردن ریشه‌ها

برای حل، کافی است ریشه‌های $$x^2 \equiv 16 \pmod{125}$$ را پیدا کنیم؛ واضح است که $$x=4$$ جواب پیمانهٔ ۵ است و می‌توان آن را به پیمانهٔ ۱۲۵ بالا کشید (مثلاً با روش هنسل).  این معادلهٔ درجهٔ دو روی پیمانهٔ توان اول یک عدد اول فرد (اینجا $$5^3$$) دقیقاً دو جواب دارد که به صورت $$x \equiv a$$ و $$x \equiv -a$$ هستند؛ در اینجا این دو جواب ۱۶ و ۱۰۹ (که برابر $$-16$$ به پیمانه ۱۲۵ است) به دست می‌آیند.