تعداد اعضای برد نسبت به تعداد اعضای دامنه لزوما کمتر نیست.
در توابع با دامنه و برد گسسته شما می تونید این نظریه رو مشاهده کنید. اما در مثالی که شما زدید دامنه و برد هر دو پیوسته و زیر مجموعه اعداد حقیقی هستند. بنابراین تعداد اعضای هر دو بی نهایت است که اصولا هم ارز می گوییم.
تعداد اعضای این مجموعه ها (زیر مجموعه های $ \Re $) را با $ \aleph_{0} $ نمایش می دهند. این بدین معناست که تعداد اعضای هیچ کدام بیشتر از دیگری نیست. بنابراین نه عنوان سوال شما صحیح است (نمی توانید توجیهی بیابید) و نه حتی ابهامی که در بخش اول نوشته ها نوشته اید وارد است. چون همانطور که توضیح دادم فرض شما که تعداد اعداد بیشتری در بازه $ \begin{bmatrix}0 , 4 \end{bmatrix} $ نسبت به بازه $ \begin{bmatrix}0 , 2 \end{bmatrix} $ وجود دارد اشتباه است.
در مورد سوال دوم شما: ملاک رابطه بودن یا تابع بودن بر اساس همین تناظری است که بین دو مجموعه تعریف می شود. اگر به ازای هر x از دامنه حداکثر یک y از برد وجود داشته باشد تابع است و در غیر اینصورت رابطه. (اگر به تعریف تابع دقت کنید همین تناظر بین دامنه و برد است که تابع یا رابطه بودن را تعیین می کند) بنابراین جواب نهایی سوال دوم شما این است که هر دو می تواند باشد.
