اگر $aH=bH$ آنگاه $Ha=Hb$؟

Question

اگر $G$ یک گروه و $H \leq G$(زیرگروه) باشد و $a,b\in G$ آیا از $aH=bH$ می توان نتیجه گرفت $Ha=Hb$ ؟

من فقط تونستم نشون بدم که $Ha^{-1}=Hb^{-1}$.

Answer 1

خیر لزوما برقرار نیست.

مثال نقض:

گروه جایگشتی $ S_{3}=\{(1),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2) \}$ را در نظر بگیرید و قرار دهید $H=\{(1),(1,2)\} $

برای $ a=(1,3) $ و $b=(1,3,2) $ داریم: $$ aH=\{(1,3)(1,3,2) \}=bH$$ اما $$ \{(1,3)(1,2,3) \}=Ha \neq Hb=\{(2,3)(1,3,2) \}$$