محاسبه برد تابع مقابل بدون استفاده از مشتق: $h(x)=(a+sinx)(a+cosx) ; a > 0$

Question

مطلوب است محاسبه برد تابع زیر بدون استفاده از مشتق:

$h(x)=(a+sinx)(a+cosx) ; a > 0$

---

حل این سوال نیازمند روش های ابتکاری است مانند استفاده از نامساوی ها یا تغییر متغیر یا استفاده از قضایای ماکزیمم مینیمم مطلق و غیره. چند بار تا بحال تلاش کرده ولی موفق نشدم به نتیجه برسم متأسفانه.

از دوستان عزیز می خوام که اگه منبع خاصی برای تقویت این جور مسائل که نیازمند روش های ابتکاری هستن می شناسن معرفی کنن.

Answer 1

ابتدا تابع به رو با اطلاعات اولیه و مثلثاتی خود به صورت زیر تغییر میدهیم :

$$f(x)=(a+\sin x)(a+\cos x) \\f(x)=a^2+a(\sin x+\cos x)+1/2\sin 2x \\ f(x)= a^2+a(\sqrt{1+ \sin 2 x})+1/2 \sin 2x$$

حال با توجه به اینکه میدانیم $-1\leq \sin 2 x \leq 1$ برد تابع برابر خواهد بود با :

$$a^2-1/2 \leq f(x) \leq a^2+\sqrt{2}a+1/2$$

Comments

با عرض سلام. @saderi7

شما در واقع با تبدیل تابع اولی به تابعی که به صورت جمع سه تابع دیگر است رسیده اید و سپس مجموع کران بالای آن ها را با هم جمع و کران بالای تابع اولی قرار داده و به همین ترتیب برای کران پایین عمل کرده اید.

خواستم بدونم که در حالت کلی شرایط استفاده از این روش چیست؟ مثلاً می دونیم که برای تابعی که از جمع دو تابع سینوس و کسینوس تشکیل می شه این روش به نتیجه درست منتهی نخواهد شد.


ممنونم از توضیحاتتون.

---

اگه خودم بخوام تا حدی به سوال خودم جواب بدم به نظرم این بحث مربوط میشه به مبحث انجام عملیات جبری بر روی نامساوی های مضاعف و شرایط انجام اونها. اگه لازمه نظرم رو اصلاح کنید.

---

باسلام
ببنید در اینجا تابع فقط از سینوس ساخته شده است  . $a$ یک پارامتر و یک عدد ثابت است . درنتیجه چون فقط از سینوس ساخته شده در نتیجه میتوانیم ماکزیمم و مینیمم اونو قرار بدهیم .
اما در تابعی که شما مثال زدید سینوس و کسینوس قرار دارند . در اینجا شما نمیتونید ماکزیمم و مینیم یکی از اونا رو قرار دهید . زیرا همنجنس نیستند . مگر اینکه اونارو  با فرمول های مثلثاتی به شکل تابعی باشد که فقط دارای سینوس باشد یا کسینوس باشد باز میتونید استفاده کنید .

---

به طور کلی اگر شما تابعی به صورت $f(\sin )$ داشته باشید یا $f(\cos )$ میتونید برای پیدا کردن ماکزیمم و مینیم تابع . ماکزیمم و مینیم  سینوس یا کسینوس ررا قرار دهید  .