به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
75 بازدید
در دانشگاه توسط 14510545
ویرایش شده توسط fardina

بدون استفاده از فرمول های انتگرال، محاسبه کنید:

$ \int_0^\pi \frac{sin^3x}{1+cosx}dx $

تلاش خودم:

ابتدا ساده سازی تابع:

$ \frac{sin^3x}{1+cosx}=\frac{sinx(1-cos^2x)}{1-cosx}={sinx}{(1+cosx)} $

سپس داریم:

$ \int_0^\pi \frac{sin^3x}{1+cosx}dx= \int_0^\pi {sinx}{(1+cosx)}dx=\int_0^\pi sinxdx+\int_0^\pi {( \frac{sin2x}{2} )}dx $

دومین انتگرال با توجه به مفهوم مساحت، حاصلش صفر است ولی با اولی نمیدونم چیکار کنم.

مرجع: کتاب ریاضی عمومی 1 رشته ریاضی- دکتر شهریار فرهمند راد- انتشارات پیام نور- چاپ دوم آبان 1395- فصل 6- صفحه 430- تمرین 7
توسط fardina
شما می خواهید $\int_0^\pi \sin x dx$  را بدون استفاده از تابع اولیه به دست اورید؟
توسط 14510545
@fardina

در حقیقت می خوام از برخی نتایج یا میانبرهای موجود در صورت امکان استفاده بشه. مثلا می دونیم که حاصل انتگرال یه تابع فرد با بازه انتگرال گیری متقارن صفر میشه. یا همون نمونه ای که در صورت سوال گفتم به کمک مفهوم مساحت.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط *༆༤༼༡།༏.ཧ།༨༽༤༆*
ویرایش شده توسط fardina

حاصل نهایی سوال برابر با 2 است.

$$\sin^2 x = 1- \cos^2x $$ پس در این صورت

$$\int \frac{\sin^3x}{1+\cos x}dx= \int -(\cos x-1)\sin x dx $$

حالا با تغییر متغیر $$u=\cos x\implies dx=- \frac{1}{\sin x}du $$

داریم: $$\int -(\cos x-1)\sin x dx =\int (u-1)du= \frac{ u^{2} }{2}-u+c $$

حالا $u$ را همان $\cos x$ بگذاریم حاصل برابر می شود با

$$ \frac{ \cos x^{2} }{2} -\cos x+c= \frac{(\cos x-2)\cos x}{2} +c $$

نوشتن سخته چقد اینجوری:D

توسط fardina
اولش سخته ولی یه کم تمرین کنید شاید مثل من ازش لذت ببرید :)
توسط 14510545
یه بار اون روش حلی که من نوشتم و توضیحاتم رو بخونید بعد اگه دیدگاهی داشتین بفرمایین توضیح بدین.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...