محاسبه انتگرال معین $\int_0^\pi \frac{sin^3x}{1+cosx}dx$ بدون استفاده از فرمول های انتگرال

Question

بدون استفاده از فرمول های انتگرال، محاسبه کنید:

$\int_0^\pi \frac{sin^3x}{1+cosx}dx$

---

تلاش خودم:

ابتدا ساده سازی تابع:

$\frac{sin^3x}{1+cosx}=\frac{sinx(1-cos^2x)}{1-cosx}={sinx}{(1+cosx)}$

سپس داریم:

$\int_0^\pi \frac{sin^3x}{1+cosx}dx= \int_0^\pi {sinx}{(1+cosx)}dx=\int_0^\pi sinxdx+\int_0^\pi {( \frac{sin2x}{2} )}dx$

دومین انتگرال با توجه به مفهوم مساحت، حاصلش صفر است ولی با اولی نمیدونم چیکار کنم.

Comments

شما می خواهید $\int_0^\pi \sin x dx$  را بدون استفاده از تابع اولیه به دست اورید؟

---

@fardina
در حقیقت می خوام از برخی نتایج یا میانبرهای موجود در صورت امکان استفاده بشه. مثلا می دونیم که حاصل انتگرال یه تابع فرد با بازه انتگرال گیری متقارن صفر میشه. یا همون نمونه ای که در صورت سوال گفتم به کمک مفهوم مساحت.

Answer 1

حاصل نهایی سوال برابر با 2 است.

$$\sin^2 x = 1- \cos^2x$$ پس در این صورت

$$\int \frac{\sin^3x}{1+\cos x}dx= \int -(\cos x-1)\sin x dx$$

حالا با تغییر متغیر

$$u=\cos x\implies dx=- \frac{1}{\sin x}du$$

داریم:

$$\int -(\cos x-1)\sin x dx =\int (u-1)du= \frac{ u^{2} }{2}-u+c$$

حالا $u$ را همان $\cos x$ بگذاریم حاصل برابر می شود با

$$\frac{ \cos x^{2} }{2} -\cos x+c= \frac{(\cos x-2)\cos x}{2} +c$$

نوشتن سخته چقد اینجوری:D

Comments

اولش سخته ولی یه کم تمرین کنید شاید مثل من ازش لذت ببرید :)

---

یه بار اون روش حلی که من نوشتم و توضیحاتم رو بخونید بعد اگه دیدگاهی داشتین بفرمایین توضیح بدین.

Answer 2

سلام .. با توجه به سوال پرسیده شده

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{3} x}{1+\cos x}=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{2} x \sin x}{1+\cos x}=\int_{0}^{\pi} \frac{\left(1-\cos ^{2} x\right) \sin x}{1+\cos x}=\int_{0}^{\pi} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x) \sin x}{1+\cos x} \\=\int_{0}^{x}(1-\cos x) \sin x &=\int_{0}^{x} \sin x-\frac{1}{2} \int_{0}^{x} \sin 2 x \\ &=-\cos x+\left.\frac{1}{4} \cos 2 x\right|_{0} ^{\pi}=2 \end{aligned}$$

Answer 3

ابتدا در پاسخ به دیدگاهی که در پاسخ به دیدگاه آقای @fardina نوشتید؛ همینطوری بدون هیچ دلیلی لزومی ندارد که میان‌بُر وجود داشته باشد. اگر می‌خواهید از تقارن استفاده کنید آنگاه حاصل انتگرال نخست‌تان برابر با دو برابر همین انتگرال برای بازهٔ صفر تا پی‌دوم می‌شود ولی برای محاسبه‌اش دقیقا همان اندازه محاسبه نیاز خواهید داشت که برای محاسبه‌اش در بازهٔ صفر تا پی نیاز دارید. پس استفاده از تقارن در مورد قسمت نخست سود خاصی برایتان نخواهد داشت. برای استفاده از تعبیر مساحت‌گونهٔ انتگرال نیز چون شکل نمودار حاصل از تابع سینوس یک شیء مقدماتی هندسهٔ دبستانی-راهنمایی نیست پس به چیزی با نام میان‌بُر نمی‌رسید. بعلاوه اگر فرمولی هم برای مساحت زیر نمودار $\sin$ بسازید در واقع قبل از داشتن فرمول تستی‌تان برای ساخت این فرمول از اینکه تابع اولیهٔ $\sin$ برابر با $\cos$ بوده‌است استفاده کرده‌اید. اگر هم بخواهید از تقریب زدن مساحت بوسیلهٔ جمع استفاده کنید در واقع دارید از تعریف انتگرال استفاده می‌کنید که حد این جمع وقتی تقسیم‌بندی‌تان بیشتر شود به مساحت واقعی نزدیک‌تر می‌شود و این حدِ جمع که مقدار دقیق است چیزی به جز انتگرال نیست. چیزی کوتاه‌تر و میان‌بُرتر از $\int\sin(x){\rm d}x=\cos(x)$ نخواهید یافت.

پس گفتن اینکه به خاطر استفاده از میان‌بُرها می‌خواهید از نکتهٔ رابطهٔ تابع اولیه با انتگرال¹ استفاده نکنید، چیزی را توجیه نمی‌کند. پس من فرض را این می‌گیرم که به جای گفتن «می‌خواهم از میان‌بُر استفاده کنم»، گفته‌باشید «می‌خواهم از قضیهٔ اساسیِ حساب‌دیفرانسیل و انتگرال استفاده نکنم». پس می‌آئیم انتگرال $\int_0^\pi\sin(x){\rm d}x$ را با کمک تعریف انتگرال بر حسب جمع ریمان محاسبه کنیم. بازهٔ $[0,\pi]$ را به $n$ زیربازهٔ مساوی تقسیم می‌کنیم که بازهٔ $i$اُم برابر می‌شود با $[\frac{(i-1)\pi}{n},\frac{i\pi}{n}]$، یک نقطه از هر بازه گزینش می‌کنیم، معمولا مرکز بازه دمِ دست‌ترین گزینه است پس از بازهٔ $i$اُم نقطهٔ $x_i=\frac{(2i-1)\pi}{2n}$ انتخاب شده‌است. اکنون مساحت زیر نمودار $y=\sin(x)$ را بر روی $[0,\pi]$ را با جمع مساحت مستطیل‌های حاصل از حاصلضرب دکارتیِ $[\frac{(i-1)\pi}{n},\frac{i\pi}{n}]\times [0,\sin(x_i)]$ تقریب می‌زنیم. و سپس این تقسیم‌بندی را با بازه‌های ریزتر انجام می‌دهیم یعنی $n$ را بزرگ و بزرگتر می‌کنیم پس داریم:

$$\begin{align} \int_0^\pi\sin(x){\rm d}x &= \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n(\frac{i\pi}{n}-\frac{(i-1)\pi}{n})(\sin(x_i)-0)\\ &= \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\sin(\frac{(2n-1)\pi}{2n}) \end{align}$$ همانطور که می‌بینید چیزی که خیلی راحت بتوانید از آن حد بگیرید و ساده کنید نیست. با کمک نرم‌افزار Mathematica این جمع را برای $n$-ِ ثابتی با کدِ زیر می‌توانید انجام دهید.

N[Sum[(1/i)*Sin[((2*i - 1)*Pi)/(2*i)], {i, 1, 10}]]

در دستور بالا N برای تبدیل کردن عبارت به عدد است برای نمونه اگر بدون گذاشتن جمع بالا که برای $n=10$ نوشته شده است در داخل آکولادِ دستورِ N، نرم‌افزارِ Mathematica حاصل را به شکل زیر نشانتان خواهد داد:

حاصل این جمع برایِ $n$های گوناگون در جدول زیر آورده‌شده‌است:

$n$	حاصلِ جمع
$10$	$1.81194$
$20$	$1.88466$
$100$	$194562$
$1000$	$1.95968$
$10000$	$1.96109$
$100000$	$1.96123$

این دنباله در حالِ میل‌کردن به ۲ است ولی با نگاه کردن به جمله‌های نه خیلی بزرگش اصلا نمی‌شود به این موضوع یقین پیدا کرد (باید تحلیل خطای تقریب و یا تحلیل سرعت همگرایی را انجام دهید تا بتوانید بگوئید جملهٔ چندم را نگاه کنید تا مطمئن بشوید تا فلان تعداد رقم اعشار تقریبتان با حاصل واقعی یکی است). پس نه تنها اینکه شما نمی‌توانید از این گونه روش‌ها برای هر موقعی استفاده کنید (مثلا برای تست کنکور یا سوال امتحان که زمان اندکی دارید و انجام دستی این جمع‌ها زمان بسیار زیادی خواهد برد) بلکه ممکن است در صورت عدم انجام تحلیل‌های لازم شما را به پاسخی نادرست رهنمود کند. برای نمونه فردی ممکن است تا جملهٔ ۱۰۰۰اُم را نگاه کند و بگوید من فکر می‌کنم حاصل دقیق حد برابر با $1.96$ است.

به هر حال وجود قضیهٔ اساسی حساب‌دیفرانسیل و انتگرال واقعا نعمت بزرگی بوده‌است که عنوان «قضیهٔ اساسی» را توانسته‌است به خود اختصاص دهد. خیلی راحت می‌نویسیم

$$\int_0^\pi\sin(x){\rm d}x=-\cos(x)\Big]_{x=0}^{x=\pi}=\big(-\cos(\pi)\big)-\big(-\cos(0)\big)=2$$

---

1. این رابطه یک قضیه است که اثبات دارد و به قضیهٔ اساسی حساب‌دیفرانسیل و انتگرال شهرت دارد. برای نمونه قضیهٔ ۶.۲۱ کتاب Principles of Mathematical Analysis نوشتهٔ Walter Rudin ویرایش سوم، انتشارات McGrew-Hill را نگاه کنید که البته این کتاب به زبان فارسی نیز ترجمه شده‌است؛ مترجم آقای علی‌اکبر عالم‌زاده هستند و نشردانشگاهی این ترجمه را چاپ و نشر کرده‌است. البته هر کتاب پایه‌ای دیگر آنالیز را که نگاه کنید نیز اثبات این قضیه را دارد. ↩︎