Question

انتگرال معین زیر را بیابید: $\int _0^ \frac{ \pi }{۲} \frac{xcosx-sinx}{ x^{2}+ sin^{2}x} dx$ به نظر می‌رسد با تغییرمتغیر $t= \frac{x}{sinx}$ مسئله قابل حل باشد.

Answer 1

$$\int \frac{(xcosx-sinx)dx}{sin^2x+x^2} =- \int \frac{(sinx-xcosx)dx}{sin^2x+x^2} =- \int \frac{((1-xcotx)cscx)dx}{x^2csc^2x+1}$$ حال فرض کنید $$u=xcscx$$ لذا $$du=(cscx-xcotxcscx)dx$$ با جایگزینی و ساده کردن داریم $$- \int \frac{du}{u^2+1} =- \ \int Arctyudu=-Arctg(xcscx)+c$$ حال با جایگزینی کران ها به جواب خواهیم رسید.