Question

انتگرال معین زیر را بیابید: $ \int _0^ \frac{ \pi }{۲} \frac{xcosx-sinx}{ x^{2}+ sin^{2}x} dx $ به نظر می‌رسد با تغییرمتغیر $t= \frac{x}{sinx} $ مسئله قابل حل باشد.

Answer 1

$$ \int \frac{(xcosx-sinx)dx}{sin^2x+x^2} =- \int \frac{(sinx-xcosx)dx}{sin^2x+x^2} =- \int \frac{((1-xcotx)cscx)dx}{x^2csc^2x+1} $$ حال فرض کنید $$u=xcscx$$لذا$$du=(cscx-xcotxcscx)dx$$ با جایگزینی و ساده کردن داریم$$- \int \frac{du}{u^2+1} =- \ \int Arctyudu=-Arctg(xcscx)+c$$ حال با جایگزینی کران ها به جواب خواهیم رسید.