به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
196 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (49 امتیاز)

مقدار انتگرال معین زیر را بیابید: $ \int _0^ \frac{ \pi }{2} ln(1+4 cos^{2}x)dx $ تکنیک فیمن و قانون کینگ می‌تواند مفید باشد.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

با استفاده از فرمول $2Cos^2x-1=Cos2x$ و خواص لگاریتم و تغییر متغیر $u=2x$ داریم:

$ \int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(1+4Cos^2x)dx=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(3+2Cos2x)dx$

$=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln3dx+\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(1+ \frac{2}{3} Cos2x)dx= \frac{ \pi }{2} Ln3+ \frac{1}{2} \int _0^ \pi Ln(1+ \frac{2}{3} Cosx)dx$

حالا انتگرال دوم را در حالت کلی که $-1< a< 1 \wedge a \neq 0$ حل می کنیم:

$A(a)= \int _0^ \pi Ln(1+aCosx)dx=[xLn(1+aCosx)]_0^ \pi+ \int _0^ \pi \frac{xSinx}{1+aCosx} dx$

$= \pi Ln(1-a)+ \frac{1}{a} \int _0^ \pi \frac{xSinx}{1+aCosx} dx$

حالا قرار دهید: $B(a)=\int _0^ \pi \frac{xSinx}{1+aCosx} dx$ و از خواص مشتق تابع زیر انتگرال استفاده کنید پس:

$ B'(a)=\int _0^ \pi \frac{Cosx}{1+aCosx} dx= \frac{1}{a}\int _0^ \pi \frac{1+aCosx-1}{1+aCosx} dx= \frac{ \pi }{a} - \frac{1}{a}\int _0^ \pi \frac{1}{1+aCosx} dx$

حالا اگر از تغییر متغیر $x=tan( \frac{x}{2} )$ استفاده کنیم (به دلیل طولانی بودن عملیات از آوردن عملیات در اینجا صرفنظر می شود) داریم:

$ B(a)= \pi Ln | a| + \pi tanh^{-1}(\sqrt{1-a^2})+C$

از طرفی دیگر:

$B(1)=- \pi Ln2 \Rightarrow B(a)= \pi Ln | a| + \pi tanh^{-1}(\sqrt{1-a^2})- \pi Ln2= \pi Ln( \frac{1+ \sqrt{1-a^2} }{2} )$

حالا با انتخاب $a= \frac{2}{3} $ انتگرال مطلوب ما حل می شود.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...