Question

انتگرال معین زیر را بیابید: $ \int _0^ \pi \frac{x}{ ( a^{2} cos^{2}x+ b^{2} sin^{2}x)^{2} } dx$ به نظر می‌رسد با تبدیل xبه$(x- \pi )$ می‌توان x را در صورت رفع کرد.

Answer 1

حدس شما صحیح است. اگر قرار دهیم:

$$I=\int_0^\pi \frac{x}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$

با تغییر متغیر $x$ به $\pi -x$ داریم:

$$I=\int_0^\pi \frac{\pi-x}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$

در نتیجه با جمع کردن دورابطه بالا خواهیم داشت:

$$2I=\pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$

یا به عبارتی دیگر:

$$2I=\pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx=\pi\int_0^\pi\frac{\sec^2x}{a^2+b^2\tan^2x}dx=\\ 2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^2x}{a^2+b^2\tan^2x}dx$$

دقت میکنیم تساوی آخر از تقارن حول خط $x=\frac{\pi}{2}$ حاصل شده است. اگر قرار دهیم $\tan x=t$ آنگاه $\sec^2xdx=dt$. لذا:

$$2I=2\pi\int_0^\infty \frac{dt}{a^2+b^2t^2}.$$

بقیه محاسبات راحت است و به فرد پرسشگر محول میشود.