حدس شما صحیح است. اگر قرار دهیم:
$$I=\int_0^\pi \frac{x}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$
با تغییر متغیر $x$ به $\pi -x$ داریم:
$$I=\int_0^\pi \frac{\pi-x}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$
در نتیجه با جمع کردن دورابطه بالا خواهیم داشت:
$$2I=\pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx.$$
یا به عبارتی دیگر:
$$2I=\pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2 \cos ^2x+b^2\sin^2x}dx=\pi\int_0^\pi\frac{\sec^2x}{a^2+b^2\tan^2x}dx=\ 2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^2x}{a^2+b^2\tan^2x}dx$$
دقت میکنیم تساوی آخر از تقارن حول خط $x=\frac{\pi}{2}$ حاصل شده است. اگر قرار دهیم $\tan x=t$ آنگاه $\sec^2xdx=dt$. لذا:
$$2I=2\pi\int_0^\infty \frac{dt}{a^2+b^2t^2}.$$
بقیه محاسبات راحت است و به فرد پرسشگر محول میشود.