به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+1 امتیاز
435 بازدید
در دانشگاه توسط asal4567 (961 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

حاصل انتگرال زیر چیست؟

$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2(x)}}{\sqrt[3]{\sin^2(x)}+\sqrt[3]{\cos^2(x)}}dx$$

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,110 امتیاز)

از نکته زیر استفاده می کنیم : $$ \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(a+b-x)\ dx $$ فرض کنیم : $$I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}}{\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}+\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}}dx\ \ \ \ \ (\star) $$ حال طبق نکته بالا داریم : $$I= \int _0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sqrt[3]{\sin^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}}{\sqrt[3]{\sin^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}+\sqrt[3]{\cos^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}}dx $$ از طرفی داریم : $$sin(\frac{ \pi }{2}-x)=cos(x)$$ $$cos(\frac{ \pi }{2}-x)=sin(x)$$ پس : $$I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}}{\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}+\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}}dx\ \ \ \ \ ( \star \star )$$ حال $(\star) ,(\star \star)$ را جمع می کنیم داریم : $$2I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}1\ dx=\frac{\pi}{2}$$ $$ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$$

+2 امتیاز
توسط fardina (17,622 امتیاز)

قرار دهید $$I=\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sqrt[3]{\sin ^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$ با تغییر متغیر $u=\frac \pi 2-x$ داریم $$I=\int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sqrt[3]{\cos^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$ در اینصورت $2I=\int_0^{\frac \pi 2}dx=\frac \pi 2$ لذا $I=\frac \pi 4$

+1 امتیاز
توسط saderi7 (7,860 امتیاز)
ویرایش شده توسط saderi7

به طور کلی برای اینگونه انتگرال ها داریم:

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$$

$$I = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}dx$$

$$ = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)}{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)+\cos^n\left(\frac\pi2-x\right)}\, dx\\ $$ $$= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^nx}{\cos^nx+\sin^nx}\, dx$$ $$I+I=\int_0^{\frac\pi2}dx$$

با شرط :

$ $$\sin^nx+\cos^nx\ne0$ به طور کلی : $$\text{If }J=\int_a^b\frac{g(x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx, J=\int_a^b\frac{g(a+b-x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx$$ $$\implies J+J=\int_a^b dx$$ با شرط: $g(x)+g(a+b-x)\ne0$ If $a=0,b=\frac\pi2$ and $g(x)=h(\sin x),$ $g(\frac\pi2+0-x)=h(\sin(\frac\pi2+0-x))=h(\cos x)$ بنابراین $J$برابر است با: $$\int_0^{\frac\pi2}\frac{h(\sin x)}{h(\sin x)+h(\cos x)}dx$$

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...