حاصل انتگرال $\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2(x)}}{\sqrt[3]{\sin^2(x)}+\sqrt[3]{\cos^2(x)}}dx$ چیست؟

Question

حاصل انتگرال زیر چیست؟

$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2(x)}}{\sqrt[3]{\sin^2(x)}+\sqrt[3]{\cos^2(x)}}dx$$

Answer 1

از نکته زیر استفاده می کنیم : $$ \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(a+b-x)\ dx $$ فرض کنیم : $$I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}}{\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}+\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}}dx\ \ \ \ \ (\star) $$ حال طبق نکته بالا داریم : $$I= \int _0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sqrt[3]{\sin^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}}{\sqrt[3]{\sin^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}+\sqrt[3]{\cos^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}}dx $$ از طرفی داریم : $$sin(\frac{ \pi }{2}-x)=cos(x)$$ $$cos(\frac{ \pi }{2}-x)=sin(x)$$ پس : $$I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}}{\sqrt[3]{\cos^2\left(x\right)}+\sqrt[3]{\sin^2\left(x\right)}}dx\ \ \ \ \ ( \star \star )$$ حال $(\star) ,(\star \star)$ را جمع می کنیم داریم : $$2I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}1\ dx=\frac{\pi}{2}$$ $$ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$$

Answer 2

قرار دهید $$I=\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\sqrt[3]{\sin ^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$ با تغییر متغیر $u=\frac \pi 2-x$ داریم $$I=\int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sqrt[3]{\cos^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$ در اینصورت $2I=\int_0^{\frac \pi 2}dx=\frac \pi 2$ لذا $I=\frac \pi 4$

Answer 3

به طور کلی برای اینگونه انتگرال ها داریم:

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx,$$

$$I = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}dx$$

$$ = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)}{\sin^n\left(\frac\pi2-x\right)+\cos^n\left(\frac\pi2-x\right)}\, dx\\ $$ $$= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\cos^nx}{\cos^nx+\sin^nx}\, dx$$ $$I+I=\int_0^{\frac\pi2}dx$$

با شرط :

$ $$\sin^nx+\cos^nx\ne0$

به طور کلی : $$\text{If }J=\int_a^b\frac{g(x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx, J=\int_a^b\frac{g(a+b-x)}{g(x)+g(a+b-x)}dx$$

$$\implies J+J=\int_a^b dx$$ با شرط: $g(x)+g(a+b-x)\ne0$

If $a=0,b=\frac\pi2$ and $g(x)=h(\sin x),$

$g(\frac\pi2+0-x)=h(\sin(\frac\pi2+0-x))=h(\cos x)$

بنابراین $J$برابر است با:

$$\int_0^{\frac\pi2}\frac{h(\sin x)}{h(\sin x)+h(\cos x)}dx$$