انتگرال تابع مثلثاتی$\int \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}$

Question

حاصل انتگرال زیر را بیابید

$$\int \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}$$

Answer 1

$$\int \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}=?$$

ابتدا تابع را با فرمول های زیر ساده میکنیم :

$$\sin x=\dfrac{2\tan(\dfrac{x}{2}))}{1+\tan^2(\dfrac{x}{2})} \ \ \ :\ \ \ \cos x =\dfrac{1-\tan^2(\dfrac{x}{2}))}{1+\tan^2(\dfrac{x}{2}))}$$ $$f(x):= \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}=\dfrac{1+\tan^2(\dfrac{x}{2}) }{2(3\tan(\dfrac{x}{2})+2)}$$

حال متغییر رو تغییر میدهیم :

$$u:=3\tan(\dfrac{x}{2})+2 \ \ :\ \ dx =\dfrac{2}{3(1+\tan^2(\dfrac{x}{2}))}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$\int \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}=\dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{u}du=\ln u$$

بنابراین جواب نهایی خواهد شد :

$$\int \frac{dx}{3\sin(x)+2\cos(x)+2}=\dfrac{\ln (3\tan(\dfrac{x}{2})+2)}{3}+c$$