انتگرال $ \int \frac{8x.\cos x+\sin x.4 x^{2} }{1- \sin^{2}x }dx $

Question

جواب انتگرال زير رو ميخواستم؟ممنون!

$$ \int \frac{8x.\cos x+\sin x.4 x^{2} }{1- \sin^{2}x }dx $$

Answer 1

باتوجه به اين فرمول

$$ \sin^{2}(x)+ \cos^{2} (x)=1 \rightarrow 1-\sin^{2}(x)= \cos^{2} (x)$$

انتگرال را باز سازي ميكنيم..

$$ \int \frac{8x\cdot\cos x+\sin x\cdot4 x^{2} }{ \cos^{2} x} dx$$

ياد آوري

$$ \big( \frac{v}{u} \big) '= \frac{v'u-u'v}{ u^{2} } $$

حال از دو طرف انتگرال ميگيريم فرمول زير حاصل ميشود

$$ \int \frac{v'u-u'v}{ u^{2} } = \frac{v}{u} $$

حال باتوجه به انتگرال داده شده..

$$ \begin{cases}v'=8x \\v=4 x^{2} \end{cases} , \begin{cases}u=\cos x \\ u'=-\sin x \end{cases} $$

بنابراين حاصل انتگرال برابر خواهد شد با...

$$ \int \frac{8x\cdot\cos x+\sin x \cdot4 x^{2} }{ \cos^{2}x } dx = \frac{4 x^{2} }{\cos x} +c$$

وبراي اينكه بفهميم جواب انتگرال را درست حساب كرده ايم يا نه..از سمت راست مشتق گرفته واگر به تابع جلوي انتگرال برسيم جواب صحيح است..

كه در اينجا ..اگه از سمت راست مشتق بگيريد مي بينيد كه به تابع جلوي انتگرال مي رسيد..

Comments

@saderi7
ایده ی خوب و زیبایی به ذهنتون رسیده ولی فکر نمیکنید برای کسانی که اولین بار به این انتگرال برخورد میکنن و تجربه ی زیادی توو حل انتگرال ندارن,همچین خلاقیتی راحت نیست؟؟؟
من فکر میکنم بهتره که این سوال,بصورت کاملا تشریحی پاسخ داده بشه.
(البته این رو هم ذکر کنم که خودم فعلا راه حلی براش پیدا نکردم)
بازم ممنون از پاسختون