باتوجه به اين فرمول
$$ \sin^{2}(x)+ \cos^{2} (x)=1 \rightarrow 1-\sin^{2}(x)= \cos^{2} (x)$$
انتگرال را باز سازي ميكنيم..
$$ \int \frac{8x\cdot\cos x+\sin x\cdot4 x^{2} }{ \cos^{2} x} dx$$
ياد آوري
$$ \big( \frac{v}{u} \big) '= \frac{v'u-u'v}{ u^{2} } $$
حال از دو طرف انتگرال ميگيريم فرمول زير حاصل ميشود
$$ \int \frac{v'u-u'v}{ u^{2} } = \frac{v}{u} $$
حال باتوجه به انتگرال داده شده..
$$ \begin{cases}v'=8x \\v=4 x^{2} \end{cases} , \begin{cases}u=\cos x \\ u'=-\sin x \end{cases} $$
بنابراين حاصل انتگرال برابر خواهد شد با...
$$ \int \frac{8x\cdot\cos x+\sin x \cdot4 x^{2} }{ \cos^{2}x } dx = \frac{4 x^{2} }{\cos x} +c$$
وبراي اينكه بفهميم جواب انتگرال را درست حساب كرده ايم يا نه..از سمت راست مشتق گرفته واگر به تابع جلوي انتگرال برسيم جواب صحيح است..
كه در اينجا ..اگه از سمت راست مشتق بگيريد مي بينيد كه به تابع جلوي انتگرال مي رسيد..
