Question

انتگرال معین زیر را بر حسب p,q بیابید: $$I(p,q)= \int _0^1 ln^{p}xln(1+x+ x^{2} + x^{3} + ...+ x^{q} ) \frac{dx}{x}$$ $$I(p,q)= (-1)^{p} \Gamma (p+1) \zeta (p+2)[1- \frac{1}{ (q+1)^{p+1} } ] $$

Comments

$$I= \int_0^1 ln^{p}xln( \frac{1- x^{q+1} }{1-x} ) \frac{dx}{x} $$

---

پاسخ در لینک روبرو:https://s9.uupload.ir/files/mansour4887/Doc16.pdf?download

Answer 1

$I(p,q)= \int _0^1Ln^px.Ln(1+x+x^2+...+x^q). \frac{1}{x} dx=\int _0^1Ln^px.Ln \frac{1-x^{q+1}}{1-x}. \frac{1}{x} dx $

$=\int _0^1Ln^px.Ln(1-x^{q+1}). \frac{1}{x} dx-\int _0^1Ln^px.Ln(1-x). \frac{1}{x} dx$

حالا قرار دهید:

$J(p.q):=\int _0^1Ln^px.Ln(1-x^{q+1}). \frac{1}{x} dx \Rightarrow I(p,q)=J(p,q)-J(p,0)$

از طرفی از خاصیت انتگرال جزء به جزء و سریهای توانی می دانیم که:

$Ln(1-x)= \sum _{n=1}^ \infty \frac{x^n}{n} ,(|x|< 1),H(m,k)=\int _0^1Ln^mx.x^kdx=(-1)^m \frac{m!}{(k+1)^{m+1}} $

بنابراین داریم:

$J(p,q)=\int _0^1Ln^px.\sum _{n=1}^ \infty \frac{x^{(q+1)n-1}}{n}dx=\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} \int _0^1Ln^px.x^{(q+1)n-1}dx$

$= \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} .(-1)^p \frac{p!}{((q+1)n-1+1)^{p+1}} =(-1)^pp!\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(q+1)^{q+1}n^{p+2}} = \frac{(-1)^pp!}{(q+1)^{p+1}} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n^{p+2}} $

$= \frac{(-1)^p \Gamma (p+1)}{(q+1)^{p+1}} \xi (q+2)$

$ \Rightarrow J(p,0)= \frac{(-1)^p \Gamma (p+1)}{1} \xi (2) =(-1)^p \Gamma (p+1) \xi (2)$

$ \Rightarrow I(p,q)=J(p,q)-J(p,0) = (-1)^p \Gamma (p+1)[ \frac{ \zeta (q+2)}{(q+1)^{p+1}} - \xi (2)] $

$= (-1)^p \Gamma (p+1)[ \frac{ \zeta (q+2)}{(q+1)^{p+1}} - \frac{ \pi ^2}{6} ]$

$ \Box $