$I(p,q)= \int _0^1Ln^px.Ln(1+x+x^2+...+x^q). \frac{1}{x} dx=\int _0^1Ln^px.Ln \frac{1-x^{q+1}}{1-x}. \frac{1}{x} dx $
$=\int _0^1Ln^px.Ln(1-x^{q+1}). \frac{1}{x} dx-\int _0^1Ln^px.Ln(1-x). \frac{1}{x} dx$
حالا قرار دهید:
$J(p.q):=\int _0^1Ln^px.Ln(1-x^{q+1}). \frac{1}{x} dx \Rightarrow I(p,q)=J(p,q)-J(p,0)$
از طرفی از خاصیت انتگرال جزء به جزء و سریهای توانی می دانیم که:
$Ln(1-x)= \sum _{n=1}^ \infty \frac{x^n}{n} ,(|x|<1),H(m,k)=\int _0^1Ln^mx.x^kdx=(-1)^m \frac{m!}{(k+1)^{m+1}} $
بنابراین داریم:
$J(p,q)=\int _0^1Ln^px.\sum _{n=1}^ \infty \frac{x^{(q+1)n-1}}{n}dx=\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} \int _0^1Ln^px.x^{(q+1)n-1}dx$
$= \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} .(-1)^p \frac{p!}{((q+1)n-1+1)^{p+1}} =(-1)^pp!\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(q+1)^{q+1}n^{p+2}} = \frac{(-1)^pp!}{(q+1)^{p+1}} \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n^{p+2}} $
$= \frac{(-1)^p \Gamma (p+1)}{(q+1)^{p+1}} \xi (q+2)$
$ \Rightarrow J(p,0)= \frac{(-1)^p \Gamma (p+1)}{1} \xi (2) =(-1)^p \Gamma (p+1) \xi (2)$
$ \Rightarrow I(p,q)=J(p,q)-J(p,0) = (-1)^p \Gamma (p+1)[ \frac{ \zeta (q+2)}{(q+1)^{p+1}} - \xi (2)] $
$= (-1)^p \Gamma (p+1)[ \frac{ \zeta (q+2)}{(q+1)^{p+1}} - \frac{ \pi ^2}{6} ]$
$ \Box $
