Question

مطلوب است محاسبه انتگرال معین زیر: $$ \int _0^ \frac{ \pi }{4} ln(sinx)dx= -\frac{1}{2} (G+ \frac{ \pi }{2} log(2))$$

Comments

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=408751104118310940

Answer 1

ایده ای برای حل:

$Log(sinx)=Log( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} )=Log( \frac{e^{ix}(1-e^{-2ix})}{2i} )$

$=Loge^{ix}+Log(1-e^{-2ix})-Log2-Logi,Log(1-e^{2ix})= \sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n(e^{2i})^n}{n} $

حالا در انتگرال گیری قسمت حقیقی را در نظر داشته باشید.

$\Box $

Answer 2

اجازه دهید $I$ انتگرال داده شده باشد: $$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x) dx$$ می‌توانیم از جایگزینی $x = \frac{\pi}{2} - u$ استفاده کنیم، بنابراین $dx = -du$. وقتی $x=0$، $u=\frac{\pi}{2}$، و وقتی $x=\frac{\pi}{4}$، $u=\frac{\pi}{4}$. سپس $$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)\right) (-du) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos u) du = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) dx$$ فرض کنید $J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x) dx$. سپس $$I+J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x) dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x \cos x) dx$$ $$I+J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(2x)) dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln 2 dx$$ $$I+J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(2x)) dx - \frac{\pi}{4} \ln 2$$ فرض کنید $u = 2x$، بنابراین $du = 2dx$. وقتی $x=0$، $u=0$، و وقتی $x=\frac{\pi}{4}$، $u=\frac{\pi}{2}$. سپس $$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin u) du = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{2} \ln 2\right) = -\frac{\pi}{4} \ln 2$$ بنابراین، $$I+J = -\frac{\pi}{4} \ln 2 - \frac{\pi}{4} \ln 2 = -\frac{\pi}{2} \ln 2$$ ما همچنین داریم $$I-J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\tan x) dx$$ فرض کنید $x = \frac{\pi}{4} - u$، بنابراین $dx = -du$. وقتی $x=0$، $u=\frac{\pi}{4}$، و وقتی $x=\frac{\pi}{4}$، $u=0$. سپس $$I-J = \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right) (-du) = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) du = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) dx$$ $$I-J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1-\tan x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx$$ این انتگرال برابر با $-G$ است، که در آن $G$ ثابت کاتالان است. $$I-J = -G$$ ما داریم $I+J = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ و $I-J = -G$. $$2I = -\frac{\pi}{2} \ln 2 - G$$ $$I = -\frac{\pi}{4} \ln 2 - \frac{G}{2}$$

پاسخ نهایی: پاسخ نهایی $\boxed{-\frac{\pi}{4}\ln 2 - \frac{G}{2}}$ است.