یک ایده برای حل:
$A= \int _0^ \infty \frac{x- \sqrt{x} }{x} \frac{Ln(x)}{(1+x)^2}dx=\int _0^ \infty (1- \frac{1}{ \sqrt{x} } )\frac{Ln(x)}{(1+x)^2}dx=\int _0^ \infty \frac{Ln(x)}{(1+x)^2}dx-\int _0^ \infty \frac{Ln(x)}{ \sqrt{x} (1+x)^2}dx$
حالا برای انتگرال اول تغییر متغیر $u= \frac{1}{x} $ رابکار ببرید:
$1):u= \frac{1}{x} \Rightarrow x= \frac{1}{u} \Rightarrow dx=- \frac{du}{u^2} $
$B=\int _0^ \infty \frac{Ln(x)}{(1+x)^2}dx= \int _ \infty ^0 \frac{-Ln(\frac{1}{u})}{(1+ \frac{1}{u} )^2u^2} du=-\int _0^ \infty \frac{Ln(u)}{(1+u)^2}du=-B \Rightarrow B+B=0 \Rightarrow B=0$
حالا برای انتگرال دوم تغییر متغیر $x=u^2$ را بکار بگیرید:
$2): \Rightarrow x=u^2 \Rightarrow dx=2udu \Rightarrow C=\int _0^ \infty \frac{2uLn(u^2)}{u(1+ u^2)^2}du=4\int _0^ \infty \frac{Ln(u)}{(1+u^2)^2}du$
برای حل این انتگرال از انتگرال مختلط و مانده ها کمک بگیرید.مسیر را خارج نیمدایره بالایی به شعاع $ \varepsilon $ و داخل نیم دایره بالایی به شعاع $R$ که $ \varepsilon <1<R$ در نظر بگیرید و قرار دهید:
$F(z)= \frac{ \frac{Log(z)}{(z+i)^2} }{(z-i)^2} $
و فرمول انتگرال کوشی را بکار بگیرید.
$ \Box $
