انتگرال معین $ \int_0^{\frac{ \pi }{2}} \frac{dx}{1+(\tan\ x)^{\sqrt{2}}} $

Question

مقدار انتگرال زیر را بیابید : $$ \int_0^{\frac{ \pi }{2}} \frac{dx}{1+(\tan\ x)^{\sqrt{2}}} $$

Comments

در کتاب آنالیز ریاضی 1 دکتر مدقالچی انتشارات پیام نور و کتاب حل مسئله از طریق مسئله لارسن  جوابش موجوده

---

سلام دوست عزیز . بله می دونم ! اینکه من این سوالو اینجا گذاشتم دلیل نمیشه که جوابشو نمیدونم . بلکه میخوام دیگران هم استفاده کنند و اگر کسی راه حلی دیگری داره برای دیگران به اشتراک بذاره . بازم ممنون از شما.

---

درود بر شما.با توجه به اینکه فرمول نویسی در اینجا کمی وقت گیره ارجاع دادن میتونه مفید باشه.با اینکار افراد میتونم مطالب دیگه منبع اصلی رو هم مطالعه کنن.

Answer 1

اولا می دانیم که $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$

ثانیا $$ \int_a^b f(x)\;dx=\int_a^b f(a+b-x)\;dx. $$ اگر قرار دهیم

$$ I(\alpha)=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha x}, \tag{*}\label{*} $$ در اینصورت بنابر آنچه در بالا گفتیم داریم:

$$ \begin{align} I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha\left(\frac{\pi}{2}+0-x\right)}\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\dfrac{1}{\tan^\alpha x}}\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x}{1+\tan^\alpha x}dx. \end{align}\tag{**}\label{**} $$

حال با توجه به $\eqref{*},\eqref{**}$ داریم:

$$ \begin{align} 2I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^\alpha x}dx+\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x} {1+\tan^\alpha x}dx\\ &=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}}\;dx\\ &=\frac{\pi}{2}\\ \end{align} $$

بنابراین $I(\alpha)=\large\color{blue}{\frac{\pi}{4}}$ .

Comments

@saderi7
سلام. ممنون برای جواب جالبتون.
به نظر من یکی از مزیت های این سایت اینه که میتونیم توانایی های ریاضی نوشتنمونو بالا ببریم. اینکه شما بخواید با علائم ریاضی و بدون نوشتن توضیحات فارسی مطلب ریاضی بنویسید مطمئن باشید اصلا کار درستی نیست و اصلا کار معمولی نیست. مثلا کتابها و مقالات ریاضی رو ببینید هیچکدام این رویه رو ندارن. و اتفاقا ممکنه این طرز نوشتن باعث گمراه شدن خواننده بشه.
البته این موضوع رو فقط برای اینکه مطالبتون بهتر بشه خدمتتون عرض کردم. :)

---

@FARDINA
سلام .
ممنون بابت ویرایش عالیتون.
متاسفانه به علت کمبود وقتی که دارم نمیتونم زیاد توضیح بدم . ولی سعی میکنم در اسرع وقت تمام جوابامو با توضیحات بیشتر ویرایش کنم وبذارم.
بازم ممنون.