اولا می دانیم که $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$
ثانیا
$$
\int_a^b f(x)\;dx=\int_a^b f(a+b-x)\;dx.
$$
اگر قرار دهیم
$$
I(\alpha)=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha x}, \tag{*}\label{*}
$$
در اینصورت بنابر آنچه در بالا گفتیم داریم:
$$
\begin{align}
I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^\alpha\left(\frac{\pi}{2}+0-x\right)}\\
&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{dx}{1+\dfrac{1}{\tan^\alpha x}}\\
&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x}{1+\tan^\alpha x}dx.
\end{align}\tag{**}\label{**}
$$
حال با توجه به $\eqref{*},\eqref{**}$ داریم:
$$
\begin{align}
2I(\alpha)&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^\alpha x}dx+\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}} \frac{\tan^\alpha x}
{1+\tan^\alpha x}dx\\
&=\int_0^{\frac{\Large\pi}{2}}\;dx\\
&=\frac{\pi}{2}\\
\end{align}
$$
بنابراین $I(\alpha)=\large\color{blue}{\frac{\pi}{4}}$ .
