معادلۀ $ ( \sqrt{4- \sqrt{15}})^{x}+( \sqrt{4+ \sqrt{15}})^{x}=(2 \sqrt{2})^{x}$ را حل کنید.

Question

$$ \big( \sqrt{4- \sqrt{15}}\big)^{x}+\big( \sqrt{4+ \sqrt{15}}\big)^{x}=(2 \sqrt{2})^{x}$$

با رسم نمودار جواب 2 به‌دست می‌آید، اما خود معادله چگونه حل می‌شود؟

Answer 1

اگر دو طرف معادله را به توان دو برسانیم داریم: $$( (\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^x+ (\sqrt{4- \sqrt{15} }) ^x)^2=(2 \sqrt{2} )^{2x}=8^x$$ حال اگر قرار دهیم $A=4+ \sqrt{15} $ و $B=4- \sqrt{15} $، آنگاه $AB=1$ و $A+B=8$ .با بازنویسی معادله ی بالا داریم: $$(A^{ \frac{x}{2} }+B^{\frac{x}{2}})^2=(A+B)^x\tag{I}$$ اگر به جای $B$ قرار دهیم $ \frac{1}{A} $ داریم: $$(A^{ \frac{x}{2} }+( \frac{1}{A} )^{\frac{x}{2}})^2=(A+ \frac{1}{A} )^x$$ $$ \Longrightarrow ( \frac{A^x+1}{A^ \frac{x}{2} } )^2=( \frac{A^2+1}{A} )^x$$ $$ \Longrightarrow (A^x+1)^2=(A^2+1)^x$$ $$ \Longrightarrow (A^x+1)^{ \frac{2}{x} }=A^2+1\tag{II}$$ میتوان به سادگی بررسی کرد که $x=2$ در معادله ی بالا صدق میکند. حال ثابت میکنیم $(A^x+1)^{ \frac{2}{x} }$ روی اعداد مثبت نزولی است.برای این کار فرض کنید $x>y>0$ . حال داریم : $$(A^x+1)^{ \frac{2}{x} }<(A^y+1)^{ \frac{2}{y} }$$ $$ \Longleftrightarrow log((A^x+1)^{ \frac{2}{x} })<log((A^y+1)^{ \frac{2}{y} })$$ $$ \Longleftrightarrow \frac{2}{x}log(A^x+1)<\frac{2}{y}log(A^y+1)$$ $$ \Longleftrightarrow y.log(A^x+1)<x.log(A^y+1)$$ $$ \Longleftrightarrow (A^x+1)^y<(A^y+1)^x$$ $$ \times (A^y+1)^{-y}\Longleftrightarrow ( \frac{A^x+1}{A^y+1} )^y<(A^y+1)^{x-y}$$ برای اثبات نامساوی اخیر هم داریم: $$( \frac{A^x+1}{A^y+1} )^y<( \frac{A^x}{A^y} )^y=(A^y)^{x-y}<(A^y+1)^{x-y}$$ پس تابع $(A^x+1)^{ \frac{2}{x} }$ روی اعداد مثبت اکیدا نزولی است، بنابراین روی اعداد مثبت فقط یک جواب $x=2$ را داریم. توجه کنید سمت راست معادله ی $(II)$ همواره بزرگتر از 1 است و اگر $x<0$ باشد سمت چپ از 1 کمتر است، بنابراین معادله در اعداد منفی جوابی ندارد. پس تنها جواب سوال $x=2$ است.