وسط قطر های چهار ضلعی ABCD را به هم وصل میکنیم تا…

Question

N و M به ترتیب وسط اقطار AC و BD از چهار ضلعی محدب ABCD هستند. امتداد MN، خطوط AB و AC را به ترتیب در نقاط E و F قطع میکند. ثابت کنید نسبت AE به BE برابر نسبت CF به DF است.

Comments

منظورتون از AC دوم CD نیست؟

---

درسته
$AC$ دوم باید $CD$ باشه

Answer 1

ابتدا از نقطه $D$ موازی $AB$ رسم میکنیم تا $EM$ را در نقطه $E'$ قطع کند

در نتیجه:

$$ DE' \parallel BE$$

نقطه $A$ رابه $M$ وصل کرده و امتداد میدهیم تا $DE'$ را در نقطه $A'$ قطع کند

نقطه $A'$ را به $C$ وصل میکنیم

دو مثلث $MAB$ و $MA'D$ بنابر حالت (ز،ض،ز) همنهشتند

پس $A'M=AM$ و از فرض مسئله $AN=NC$

بنابر تالس، چون

$$\frac{AM}{AA'}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$$

در نتیجه

$$MN \parallel A'C$$

چون امتداد $MN$ همان امتداد $FE'$ است پس در دو مثلث $DA'C$ و $DE'F$ بنابر تالس :

$$\frac{CF}{DF}=\frac{A'E'}{DE'}=\frac{AE}{BE}$$