Question

اگر وسط هاي دو قاعده ذوزنقه را به هم وصل كنيم ثابت كنيد به دو چهار ضلعي هم مساحت تبديل ميشود واز نقطه برخورد دو قطر عبور ميكند.

Answer 1

برای قسمت اول کافیه دقت کنید وقتی این دونقطه را به هم وصل میکنید دو ذوزنقه هم ارتفاع بدست می آید که قاعده های بالایی و پایینی برابر دارند. لذا مساحت ها برابر هستند.

برای قسمت دوم فرض کنید نقطه وسط قاعده بالایی را به محل برخورد دو قطر وصل کرده و آن را امتداد می دهیم تا قاعده پایینی را در نقطه ای مانند $N$ قطع کند:

اگر نشان بدهیم $x=y$ آنگاه نتیجه می شود که $M$ وسط قاعده پایینی است و حکم ثابت می شود.

دو مثلث $OAB$ و $OCD$ متشابه هستند لذا $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} =k$

دو مثلث $OAN$ و $OCM$ متشابه هستند لذا $\frac{AN}{x} = \frac{OA}{OC} =k \Rightarrow AN=kx$

دو مثلث $ONB$ و $OMD$ متشابه هستند لذا $\frac{BN}{y} = \frac{OB}{OD} =k \Rightarrow BN=ky$

با مقایسه رابطه ها و توجه به اینکه $AN=BN$ حکم ثابت می شود.

کل تشابه ها به حالت دو زاویه بود( زوایای متقابل به راس داشتیم)