$M$ را به $N$ وصل میکنیم و داریم
$$AMN+NMA_{1}=180=AMN+ABN$$
$$ \Rightarrow ABN=NMA= \frac{\frown A_{1}B_{1}N}{2} $$
خط $BB_{1}$ را امتداد میدهیم و از نقطه $B_{1}$ مماسی بر دایره $O$ رسم میکنیم.
زاویه بین $A_{1}$ و مماس برابر $ \frac{ \frown A_{1}B_{1}}{2} $ و زاویه مماس و امتداد $BB_{1}$ برابر $ \frac{ \frown NB_{1}}{2} $ است.
در نتیجه زاویه بین امتداد $BB_{1}$ و $A_{1}B_{1}$ برابر $ \frac{ \frown NA_{1}}{2} $ است
پس $A_{1}B_{1}$ با $AB$ موازی است
خواهیم داشت:
$$NO_{1}A_{1}= \frac{ \frown NA_{1}}{2} $$
$$O_{1}BB_{1}=BNO_{1}= \frac{ \frown NA_{1}}{2} $$
پس $O_{1}A_{1}$ موازی $BB_{1}$ می باشد
پس $A_{1}B_{1}BO_{1}$ یک متوازی الاضلاع می باشد
در نتیجه ضلع های روبروی این چهار ضلعی برابرند، یعنی:
$$R_{1}=O_{1}B=A_{1}B_{1}$$
