یک دایرهٔ دلخواه با شعاع به اندازهٔ $r$ در نظر بگیرید. یک نقطه داخل این دلخواه برگزینید و سپس آن را ثابت بگیرید و $A$ بنامید. اگر این نقطه مرکز دایره باشد آنگاه چیزی برای اثبات نمیماند چون خطهای گذرنده از این نقطه همان قطرهای دایره هستند که وتر دایره هم هستند. بنابراین درازای همهٔ آنها برابر با $2r$ است که با اندازهٔ وتر گذرنده از این نقطه که دوباره قطر است برابر است. پس فرض کنید که این نقطه مرکز دایرهمان نیست. بدون کاستن از کلیت با یک انتقال میتوان فرض کرد که مرکز این دایره مبدأ مختصات است. دوباره بدون کاستن از کلیت با یک دوران پیرامون (حول) مبدأ میتوان فرض کرد که قطرِ یکتای گذرنده از نقطهٔ $A$ (خط گذرنده از مرکز دایره و نقطهٔ $A$، این خط یکتاست اگر $A$ و مبدأ یکی نباشند) روی محور $x$ها منطبق شود. اکنون درازا (طول) نقطهٔ $A$ را با $x_A$ نمایش دهید، پس مختصات این نقطه برابر است با $(x_A,0)$. یک خط گذرنده از این نقطه دایره را در دو نقطه قطع میکند. برای یک خط دلخواه ولی ثابت، این دو نقطه را $E$ و $F$ بنامید. مختصات این دو نقطه را به ترتیب با $(x_E,y_E)$ و $(x_F,y_F)$ نمایش دهید. چون این دو نقطه روی دایره با برابریِ (معادلهٔ) $x^2+y^2-r^2=0$ (دایرهٔ به مرکز مبدأ و شعاع $r$) پس میتوان مختصهای پنها (عرض) آنها را بر حسب مختص درازایشان نوشت:
\begin{align}
y_E &= \pm\sqrt{r^2-x_E^2}\\
y_F &= \pm\sqrt{r^2-x_E^2}\end{align}
که البته یکی از فقط مثبت یا منفی برای هر یک رخ میدهد. اگر خطمان عمودی باشد آنگاه $x_E=x_F=x_A$ و بدون کاستن از کلیت فرض کنید $E$ نقطهٔ بالایی و $F$ نقطهٔ پائینی باشد (بالایی پهنای مثبت و پائینی پهنای منفی دارد). در اینصورت درازای این پارهخط که فاصلهٔ این دو نقطه است برابر میشود با
\begin{align}
\sqrt{(x_E-x_F)^2+(y_E-y_F)^2} &= \sqrt{(x_A-x_A)^2+(2\sqrt{r^2-x_A^2})^2}\\
&= 2\sqrt{r^2-x_A^2}
\end{align}
بعلاوه توجه کنید که این خط بر قطر گذرنده از $A$ در نقطهٔ $A$ عمود است. هدف این است که ثابت کنیم که این مقداری که بدست آوردیم کمترین درازای ممکن برای پارهخطهای گذرنده از $A$ در داخل دایره است. یک خط گذرنده از $A$ با شیب $m$ که $m$ متنهای باشد (حالتی که متناهی نباشد، را قبلا جدا کردیم که حالت عمودی بودن است) با برابری زیر داده میشود.
$$y=mx+c$$
که $c$ پهنا از مبدأ (عرض از مبدأ) است. چون $A$ عضو این خط است پس باید در این برابری صدق کند، با جایگذاری مختصات آن داریم $0=mx_A+c$ که در نتیجه $c=-mx_A$ با گذاشتن این داده در برابری خط خواهیم داشت:
$$y=m(x-x_A)$$
پس یک پارامتر کمتر شد. توجه کنید که $E$ و $F$ نقطههای حاصل از برخورد این خط با دایره هستند، پس باید در این برابر نیز صدق کنند. بدون کاستن از کلیت فرض کنید $E$ در سمت راست و بالای $A$ قرار دارد و $F$ در سمت چپ و پائین (حالتهای دیگر با یک تقارن به چنین حالتی تبدیل میشوند). از اینکه این دو نقطه بر روی این خط هستند داریم:
\begin{align}
y_E &= m(x_E-x_A)\\
y_F &= m(x_F-x_A)
\end{align}
پس متغیرهای $y_E$ و $y_F$ بر حسب متغیرهای دیگر و پارامترهای $m$ و $x_A$ نوشته میشوند. اکنون چون باید این دو نقطه در دایره نیز صدق کنند با جایگذاری این دو رابطهٔ آخر در برابری دایره داریم:
\begin{align}
& x_E^2+m^2(x_E-x_A)^2=r^2,\;x_E > x_A\Longrightarrow\\
& x_E=\frac{m^2x_A^2+\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2}\\
& x_F^2+m^2(x_F-x_A)^2=r^2,\;x_F < x_A\Longrightarrow\\
& x_F=\frac{m^2x_A^2-\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2}
\end{align}
و به طور بدیهی هم داریم
\begin{align}
& y_E=m(-x_A+\frac{m^2x_A^2+\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2})\\
& y_F=m(-x_A+\frac{m^2x_A^2-\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2})
\end{align}
اکنون اندازهٔ پارهخط $EF$ بر حسب متغیر $m$ که از بر $[0,+\infty)$ (حالت منفی با تقارن تکرار میشود که چند خط بالا کنار گذاشتیم) تغییر میکند و دو پارامتر $r$ و $x_A$ که ثابت گرفتهشدهاند به شکل زیر درمیآید. توجه کنید که وقتی دو عبارت را از هم کم میکنید قسمتهای یکسان یا علامت یکسانشان حذف میشود و قسمتهای یکسان با علامت متفاوتشان دوبرابر میشود. این چیزی است که برای $(x_E-x_F)$ و $(y_E-y_F)$ در اینجا روی میدهد (به فرمولهای بالا دقت کنید).
\begin{align}
|EF| &= \sqrt{\Big(\frac{2\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2+\Big(\frac{2m\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2}\\
&= \sqrt{(1+m^2)\Big(\frac{2\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2}\\
&= 2\sqrt{\frac{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}{m^2+1}}\\
&= 2\sqrt{r^2+\frac{m^2}{m^2+1}x_A^2}
\end{align}
که به عنوان تابعی بر حسب $m$ بر روی $[0,+\infty)$ نزولی یکنوا است، در $m=0$ برابر با $2r$ میشود که همان قطر گذرنده از $A$ و مبدأ است و زمانیکه $m\to +\infty$ مقدار این تابع به $2\sqrt{r^2-x_A^2}$ که وتر عمودی است که در ابتدا بحث کردیم میل میکند. پس به صورت کاملا تحلیلی ثابت کردیم که وتر گذرنده و عمود بر قطر در $A$ در بین تمام وترهای دیگر گذرنده از $A$ درازای کمتری دارد.
توجه کنید که انتقال، دوران و تقارن همگی نگهدارندهٔ درازای پارهخطها هستند و برای همین میتوانستیم بگوئیم بدون کاستن از کلیت فلان و فلان در سه جای اثباتمان که دیدید.
