به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
42 بازدید
در دبیرستان توسط behruz
ویرایش شده قبل توسط AmirHosein

وتر $DAE$ از دایره $C(O,R)$ قطر $BC$ از این دایره را در نقطه $A$ به زاویه $45$ قطع می کند.

ثابت کنید: $AD^2+AE^2=2R^2$

مرجع: مجلهٔ ریاضی برهان برای دانش‌آموزان، شمارهٔ ۱، سال ۱۳۷۰، مسائل مسابقه‌ای، هندسهٔ سال سوم ریاضی، پرسش ۶
قبل توسط AmirHosein
@behruz به تغییراتی که بر روی مرجع، عنوان و برچسب پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید تا متوجه بشوید چه ویرایش‌هایی لازم بوده انجام بدهید. پرسش‌های بعدی‌تان را با رعایت این نکات تایپ کنید. برای توضیح مفصل اینکه در نوشتن عنوان، مرجع و متن پرسش چه چیزهایی را باید رعایت کنید می‌توانید به این پست مراجعه کنید.
https://math.irancircle.com/11973/%DA%86%DA%AF%D9%88%D9%86%D9%87-%D8%AF%D8%B1-%D9%85%D8%AD%D9%81%D9%84-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C-%DB%8C%DA%A9-%D8%B3%D9%88%D8%A7%D9%84-%D8%AE%D9%88%D8%A8-%D8%A8%D9%BE%D8%B1%D8%B3%DB%8C%D9%85%D8%9F
قبل توسط behruz
تشکر ممنونم از تذکرتون

1 پاسخ

+1 امتیاز
قبل توسط behruz
انتخاب شده قبل توسط behruz
 
بهترین پاسخ

بنده قضیه را بصورت زیر ثابت کردم:

بدون اینکه به کلیت مساله خللی وارد شود ابتدا مینویسیم $2R^2=R^2+R^2$ و هر $R$ را هم یکی از اضلاع مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین مطابق شکل زیر در نظر می گیریم:

پس $2R^2=R^2+R^2=OC^2+OF^2=FC^2$ حالا حکم مساله بصورت $AD^2+AE^2=FC^2$ خواهد شد.

چون که $BC$ قطر دایره است ابتدا پاره خط $AE$ را نسبت به قطر $BC$ بازتاب میدهیم و آنرا $AM$ مینامیم(شکل زیر):

چون که زاویه $DAC=BAE=BAM=45^o$ پس $DAM=90^o$ و مثلث $DAM$ در راس $A$ قائم الزاویه خواهد شد(شکل زیر):

در این صورت $DA^2+AE^2=DA^2+AM^2=DM^2$ و حکم مساله بصورت زیر خواهد شد:

$DM^2=FC^2$

حال مثلث متساوی الساقین $DOM$ را تشکیل داده و ثابت می کنیم $DOM=90^o$(شکل زیر):

می دانیم اگر دو وتر دایره به نام های $DE$ و $BC$ همدیگر را در نقطه ای مانند $A$ قطع کنند آنگاه زاویه بین دو وتر یعنی $DAC$ از رابطه زیر بدست می آید:

و چون $DAC=45^o$ پس $DC+BE=90^o$ و چون که $BE=BM$ پس $DC+BM=90^o$ در نتیجه کمان $MD$ برابر خواهد شد با :

$MD=180-(DC+BM)=180-90=90$

پس مثلث $DAM$ هم قائم الزاویه متساوی الساقین و با مثلث $FOC$ هم نهشت خواهد و $MD=FC$.

پس در نتیجه $FC^2=2R^2=MD^2=AD^2+AM^2=AD^2+AE^2$ و حکم مساله ثابت میشود.

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...