به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
267 بازدید
در دبیرستان توسط Ali hosseini (9 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

روی ربع دایرهٔ $AOB$، امتداد دو وترِ مساویِ $AM$ و $BN$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند. ثابت کنید اندازهٔ زاویهٔ $AOD$ برابر با ۴۵ درجه است.

توضیحات تصویر

توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
@Ali_hosseini برایتان شکلی اضافه کردم.

3 پاسخ

+3 امتیاز
توسط mdgi (1,448 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdgi

دو مثلث $OBN$ و $OAM$ بنا به حالت سه ضلع مساوی هستند. پس زوایای $OND$ و $OMD$ مساویند. دو ضلع $DM$ و $DN$ را امتداد میدهیم و از $O$ بر آنها عمود میکنیم:

توضیحات تصویر دو مثلث $OH_1N$ و $OH_2M$ بنا به حالت وتر و یک زاویه با هم برابرند و نتیجه میشود دو مثلث $OH_1D$ و $OH_2D$ با هم برابرند. بنابراین نتیجه میگیریم که دو مثلث $OMD$ و $OND$ بنا به حالت زض ز مساویند و درنهایت چون $ND=MD$ نتیجه میشود دو مثلث $BOD$ و $AOD$ بنا به حالت سه ضلع مساویند.

+2 امتیاز
توسط Amir1400 (92 امتیاز)

با توجه به رابطه طولی در دایره داریم `$$DM*DA=DN*DB $$ $$ \Rightarrow DM(DM+MA)=DN(DN+NB)$$ $$ \Rightarrow (DM-DN)(DM+DN+MA)=0 $$

پس $ ِDM=DN $ در نتیجه $ AD=BD $ بنابراین دو مثلث AOD و BOD در حالت سه ضلع همنهشتند پس دو زاویه AOD و BOD برابر با 45 درجه است توضیحات تصویر

0 امتیاز
توسط

از مرکز دایره به BN و AM عمودهایی را رسم کنید. دو مثلث ایجاد شده در دو طرف بنا به حالت (وز) همنهشت هستند. حال دو مثلث قائمه داخلی که وتر مشترک OD را دارند در نظر بگیرید. این دو بنا به حالت (وض) همنهشت خواهند شد . بنابراین دو مثلث AOD و BOD همنهشت خواهند شد و از اینجا لازم است زاویه O نصف قائمه یعنی 45 درجه باشد.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...