به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
125 بازدید
در دبیرستان توسط Mahdieh0283 (10 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

کوچکترین وتری که از یک نقطه واقع در درون دایره می‌توان رسم کرد وتری است که بر قطر گذرنده از آن نقطه عمود است. چگونه این گزاره را اثبات می‌کنند؟

مرجع: کتاب مبتکران هندسه ۱۱
توسط sMs (572 امتیاز)
لطفا شماره صفحه و فصل و نام مولف(ها) را هم در قسمت مرجع بنویسید.
توسط AmirHosein (10,680 امتیاز)
@Mahdieh0283 کاربر @sMs درست می‌گویند باید مشخصات بیشتری از این کتاب بنویسید تا به طور یکتا مشخص شود، انتشارات مبتکران چندین کتاب در مورد هندسهٔ یک مقطع خاص چاپ کرده‌است و سال چاپ نیز مهم است چون ممکن است امسال برای همان عنوان از نویسنده‌های دیگری استفاده کرده‌باشد و متن و مطالب و پرسش‌ها کاملا متفاوت باشند.

3 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (10,680 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

یک دایرهٔ دلخواه با شعاع به اندازهٔ $r$ در نظر بگیرید. یک نقطه داخل این دلخواه برگزینید و سپس آن را ثابت بگیرید و $A$ بنامید. اگر این نقطه مرکز دایره باشد آنگاه چیزی برای اثبات نمی‌ماند چون خط‌های گذرنده از این نقطه همان قطرهای دایره هستند که وتر دایره هم هستند. بنابراین درازای همهٔ آنها برابر با $2r$ است که با اندازهٔ وتر گذرنده از این نقطه که دوباره قطر است برابر است. پس فرض کنید که این نقطه مرکز دایره‌مان نیست. بدون کاستن از کلیت با یک انتقال می‌توان فرض کرد که مرکز این دایره مبدأ مختصات است. دوباره بدون کاستن از کلیت با یک دوران پیرامون (حول) مبدأ می‌توان فرض کرد که قطرِ یکتای گذرنده از نقطهٔ $A$ (خط گذرنده از مرکز دایره و نقطهٔ $A$، این خط یکتاست اگر $A$ و مبدأ یکی نباشند) روی محور $x$ها منطبق شود. اکنون درازا (طول) نقطهٔ $A$ را با $x_A$ نمایش دهید، پس مختصات این نقطه برابر است با $(x_A,0)$. یک خط گذرنده از این نقطه دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. برای یک خط دلخواه ولی ثابت، این دو نقطه را $E$ و $F$ بنامید. مختصات این دو نقطه را به ترتیب با $(x_E,y_E)$ و $(x_F,y_F)$ نمایش دهید. چون این دو نقطه روی دایره با برابریِ (معادلهٔ) $x^2+y^2-r^2=0$ (دایرهٔ به مرکز مبدأ و شعاع $r$) پس می‌توان مختص‌های پنها (عرض) آنها را بر حسب مختص درازایشان نوشت:

\begin{align} y_E &= \pm\sqrt{r^2-x_E^2}\\ y_F &= \pm\sqrt{r^2-x_E^2}\end{align}

که البته یکی از فقط مثبت یا منفی برای هر یک رخ می‌دهد. اگر خط‌مان عمودی باشد آنگاه $x_E=x_F=x_A$ و بدون کاستن از کلیت فرض کنید $E$ نقطهٔ بالایی و $F$ نقطهٔ پائینی باشد (بالایی پهنای مثبت و پائینی پهنای منفی دارد). در اینصورت درازای این پاره‌خط که فاصلهٔ این دو نقطه است برابر می‌شود با

\begin{align} \sqrt{(x_E-x_F)^2+(y_E-y_F)^2} &= \sqrt{(x_A-x_A)^2+(2\sqrt{r^2-x_A^2})^2}\\ &= 2\sqrt{r^2-x_A^2} \end{align}

بعلاوه توجه کنید که این خط بر قطر گذرنده از $A$ در نقطهٔ $A$ عمود است. هدف این است که ثابت کنیم که این مقداری که بدست آوردیم کمترین درازای ممکن برای پاره‌خط‌های گذرنده از $A$ در داخل دایره است. یک خط گذرنده از $A$ با شیب $m$ که $m$ متنهای باشد (حالتی که متناهی نباشد، را قبلا جدا کردیم که حالت عمودی بودن است) با برابری زیر داده می‌شود.

$$y=mx+c$$

که $c$ پهنا از مبدأ (عرض از مبدأ) است. چون $A$ عضو این خط است پس باید در این برابری صدق کند، با جایگذاری مختصات آن داریم $0=mx_A+c$ که در نتیجه $c=-mx_A$ با گذاشتن این داده در برابری خط خواهیم داشت:

$$y=m(x-x_A)$$

پس یک پارامتر کمتر شد. توجه کنید که $E$ و $F$ نقطه‌های حاصل از برخورد این خط با دایره هستند، پس باید در این برابر نیز صدق کنند. بدون کاستن از کلیت فرض کنید $E$ در سمت راست و بالای $A$ قرار دارد و $F$ در سمت چپ و پائین (حالت‌های دیگر با یک تقارن به چنین حالتی تبدیل می‌شوند). از اینکه این دو نقطه بر روی این خط هستند داریم:

\begin{align} y_E &= m(x_E-x_A)\\ y_F &= m(x_F-x_A) \end{align}

پس متغیرهای $y_E$ و $y_F$ بر حسب متغیرهای دیگر و پارامترهای $m$ و $x_A$ نوشته می‌شوند. اکنون چون باید این دو نقطه در دایره نیز صدق کنند با جایگذاری این دو رابطهٔ آخر در برابری دایره داریم:

\begin{align} & x_E^2+m^2(x_E-x_A)^2=r^2,\;x_E > x_A\Longrightarrow\\ & x_E=\frac{m^2x_A^2+\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2}\\ & x_F^2+m^2(x_F-x_A)^2=r^2,\;x_F < x_A\Longrightarrow\\ & x_F=\frac{m^2x_A^2-\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2} \end{align}

و به طور بدیهی هم داریم

\begin{align} & y_E=m(-x_A+\frac{m^2x_A^2+\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2})\\ & y_F=m(-x_A+\frac{m^2x_A^2-\sqrt{m^2+m^2r^2-m^2x_A^2}}{1+m^2}) \end{align}

اکنون اندازهٔ پاره‌خط $EF$ بر حسب متغیر $m$ که از بر $[0,+\infty)$ (حالت منفی با تقارن تکرار می‌شود که چند خط بالا کنار گذاشتیم) تغییر می‌کند و دو پارامتر $r$ و $x_A$ که ثابت گرفته‌شده‌اند به شکل زیر درمی‌آید. توجه کنید که وقتی دو عبارت را از هم کم می‌کنید قسمت‌های یکسان یا علامت یکسانشان حذف می‌شود و قسمت‌های یکسان با علامت متفاوت‌شان دوبرابر می‌شود. این چیزی است که برای $(x_E-x_F)$ و $(y_E-y_F)$ در اینجا روی می‌دهد (به فرمول‌های بالا دقت کنید).

\begin{align} |EF| &= \sqrt{\Big(\frac{2\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2+\Big(\frac{2m\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2}\\ &= \sqrt{(1+m^2)\Big(\frac{2\sqrt{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}}{m^2+1}\Big)^2}\\ &= 2\sqrt{\frac{(m^2+1)r^2-m^2x_A^2}{m^2+1}}\\ &= 2\sqrt{r^2+\frac{m^2}{m^2+1}x_A^2} \end{align}

که به عنوان تابعی بر حسب $m$ بر روی $[0,+\infty)$ نزولی یکنوا است، در $m=0$ برابر با $2r$ می‌شود که همان قطر گذرنده از $A$ و مبدأ است و زمانیکه $m\to +\infty$ مقدار این تابع به $2\sqrt{r^2-x_A^2}$ که وتر عمودی است که در ابتدا بحث کردیم میل می‌کند. پس به صورت کاملا تحلیلی ثابت کردیم که وتر گذرنده و عمود بر قطر در $A$ در بین تمام وترهای دیگر گذرنده از $A$ درازای کمتری دارد.

توجه کنید که انتقال، دوران و تقارن همگی نگهدارندهٔ درازای پاره‌خط‌ها هستند و برای همین می‌توانستیم بگوئیم بدون کاستن از کلیت فلان و فلان در سه جای اثبات‌مان که دیدید.

0 امتیاز
توسط mdgi (1,221 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdgi

دایره $C_1$ به مرکز $O$ که شامل نقطه درونی $p$ است را در نظر میگیریم. دایره ای به مرکز $O$ گذرنده از $p$ رسم میکنیم و آن را $C_2$ مینامیم. از میان همه خطهای در صفحه که از نقطه $p$ می‌گذرند، آن خطی که مماس بر دایره $C_2$ است بیشترین فاصله تا $O$ را دارد. بنابراین از تمام وترهای در $C$ که از $p$ میگذرند وتری که عمود بر قطر گذرنده از $p$ است بیشترین فاصله را تا $O$ دارد. پس طبق قضیه ای نتیجه میشود کوچکترین وتر است.

توسط Mahdieh0283 (10 امتیاز)
+1
نباید بگیم بیشترین فاصله را تا oدارد؟
توسط sMs (572 امتیاز)
@mdgi و @Mahdieh0283 و @AmirHosein من به زودی پاسخی که مد نظر داشتم را با اثباتش اینجا مینویسم...
توسط mdgi (1,221 امتیاز)
بله درستش کردم
0 امتیاز
توسط Elyas1 (129 امتیاز)

اثبات به کمک فیثاغورث. نقطه p درون دایره را در نظر بگیرید.از این نقطه دو خط رسم کنید به طوری که بتوان از o مرکز دایره بر یکی از خط ها در نقطه ی غیر ازp و دیگری در نقطه p عمود کرد.نقطه عمود شده را H بنامید. داریم oH^2+HP^2=op^2 و داریم (Aتقاطع خطی که در نقطه ای دیگر بر قطر عمود است با دایره) oH^2+HA^2=R^2.وb تقاطع خط عمود بر قطری که سوال گفته با دایره.داریمop^2+Bp^2=R^2. که با جای‌گذاری به دست می آید:AH^2=Hp^2+Bp^2 پس داریم : BF<AN .نکته«اگر قطر بر وتر عمود باشد آن را نصف میکند»

توسط AmirHosein (10,680 امتیاز)
@Elyas1 پاسخ درست است ولی یادتان رفته‌است نقطه‌های $F$ و $N$ را معرفی کنید.
توسط Elyas1 (129 امتیاز)
بله.N نقطه تقاطع خطی است که قطر عمود شده در نقطه ای دیگر است،با دایره و f برخورد خط دیگر با دایره

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...