. ویژگیهای کلید بیضی اشتاینر
· مرکز بیضی، مرکز ثقل (Centroid) مثلث است. (نقطه تلاقی میانهها)
· محورهای بیضی در راستای خطوط سیمسون (Simson lines) قائم الزاویه مثلث هستند.
· این بیضی، مثلث را در نسبت ثابتی (۲:۱) از مرکز ثقل تحت تاثیر قرار میدهد.
اثبات یکتایی
یکتایی بیضی اشتاینر را میتوان با استفاده از تبدیلات آفین (Affine transformations) اثبات کرد:
· هر مثلثی را میتوان با یک تبدیل آفین به یک مثلث متساویالاضلاع تبدیل کرد.
· در یک مثلث متساویالاضلاع، تنها دایرهای که در آن محاط میشود و به اضلاع در نقاط میانی مماس است، دایره محاطی ( incircle ) است. از آنجایی که دایره حالت خاصی از بیضی است، این دایره در واقع بیضی اشتاینر برای مثلث متساویالاضلاع است.
· با اعمال تبدیل معکوس آفین، این دایره به یک بیضی یکتا در مثلث اصلی تبدیل میشود.
نحوه ساخت
برای ترسیم بیضی اشتاینر یک مثلث:
1. نقاط میانی سه ضلع مثلث ($M_a$, $M_b$,$ M_c$) را پیدا کنید.
2. مرکز ثقل مثلث (G) را پیدا کنید که محل تلاقی میانهها است.
3. با استفاده از تبدیلات خطی مناسب، بیضیای را رسم کنید که مرکز آن G باشد و از سه نقطه$ M_a$,$ M_b$,$ M_c$ بگذرد.
نتیجهگیری
پس برای هر مثلث، تنها یک بیضی اشتاینر وجود دارد که در آن محاط شده و به اضلاع در نقاط میانی مماس است. این بیضی از نظر هندسی منحصربهفرد است.
