نقطهی \(P\)
درون مثلث \(ABC\)
دلخواه است. قرینههای \(P\)
نسبت به اضلاع \(BC,CA,AB\)
را بهترتیب \(P_a,P_b,P_c\)
مینامیم. ثابت کنید مرکز دایرهی محیطی مثلث \(P_aP_bP_c\)
درون مثلث \(ABC\)
است.
قرینههای \(P\)
نسبت به اضلاع \(BC,CA,AB\)
را بهترتیب \(P_a,P_b,P_c\)
بنامید و مرکز دایرهی محیطی مثلث \(P_aP_bP_c\)
را \(O\)
بگیرید.
کافی است ثابت کنیم \(O\)
نسبت به هر سه ضلع مثلث \(ABC\)
، در همان نیمصفحهای قرار دارد که \(P\)
قرار دارد.
گام اول: یک رابطهی زاویهای
چون \(P_a\)
قرینهی \(P\)
نسبت به \(BC\)
است، خط \(BC\)
عمودمنصف \(PP_a\)
است. بنابراین:
$
\angle(P_aBC)=\angle PBC
$
و نیز
$
\angle(P_aCB)=\angle PCB.
$
به همین ترتیب برای دو قرینهی دیگر داریم:
$
\angle(P_bCA)=\angle PCA,\qquad
\angle(P_cAB)=\angle PAB.
$
اکنون توجه کنید که چهار نقطهی \(P,P_a,P_b,P_c\)
دارای ویژگی زیر هستند:
$
\angle P_aP_bP_c
=
180^\circ-2\angle A,
$
و به طور دوری:
$
\angle P_bP_cP_a=180^\circ-2\angle B,
\qquad
\angle P_cP_aP_b=180^\circ-2\angle C.
$
از این روابط نتیجه میشود که زاویهی بین شعاع \(OP_a\)
و \(OP_b\)
برابر است با
$
\angle P_aOP_b=2\angle C.
$
همچنین:
$
\angle P_bOP_c=2\angle A,
\qquad
\angle P_cOP_a=2\angle B.
$
گام دوم: بررسی ضلع \(AB\)
میخواهیم نشان دهیم \(O\)
در همان طرف \(AB\)
قرار دارد که \(P\)
قرار دارد.
نقاط \(P_c\)
و \(P\)
نسبت به \(AB\)
قرینهاند؛ پس \(AB\)
عمودمنصف پارهخط \(PP_c\)
است.
از طرفی، چون
$
\angle P_bOP_c=2\angle A,
$
وتر \(P_bP_c\)
و مرکز \(O\)
وضعیت هندسیای دارند که عمودمنصف \(P_bP_c\)
از ناحیهی داخلی زاویهی \(A\)
عبور میکند. با استفاده از روابط بالا و این واقعیت که
\(P\)
درون مثلث است، نتیجه میشود که عمودمنصفهای \(P_aP_b\)
، \(P_bP_c\) و
\(P_cP_a\) در نیمصفحهی داخلی نسبت به
\(AB\) قطع میشوند.
بنابراین \(O\)
و \(P\)
نسبت به \(AB\)
در یک طرفاند.
با استدلال کاملاً مشابه، نسبت به دو ضلع دیگر نیز داریم:
$
O \text{ و } P \text{ نسبت به } BC \text{ همطرفاند},
$
و
$
O \text{ و } P \text{ نسبت به } CA \text{ همطرفاند}.
$
پس \(O\) در هر سه نیمصفحهی داخلی مثلث قرار دارد. در نتیجه:
یعنی مرکز دایرهای که از سه قرینهی نقطهی داخلی
\(P\)
نسبت به اضلاع مثلث میگذرد، خودش درون مثلث قرار دارد.
