به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
52 بازدید
قبل در دبیرستان و دانشگاه توسط سپیده

یک خرس قطبی در زمستان n قطعه گوشت به اندازه های 1،2،3،....nرادر غار ذخیره میکند. وهر روز یک قطعه به تصادف انتخاب میکندو اگرفرد بود کامل میخورد ولی اگر زوج بود نصف آن را میخورد و مابقی را در غار ذخیره میکند.اگر روزی غذا نباشد میمیرد. با این حساب چند روز زنده میماند.

2 پاسخ

0 امتیاز
قبل توسط AmirHosein
انتخاب شده قبل توسط سپیده
 
بهترین پاسخ

قطعه‌ای به اندازهٔ ۱ واحد در یک روز خورده‌می‌شود. قطعه‌ای به اندازهٔ ۲ واحد در دو روز خورده می‌شود. روز نخست $2\div 2=1$، ۱ واحد از آن خورده می‌شود و روز دوم ۱ واحد باقیمانده. قطعه‌ای به اندازهٔ ۳ واحد در یک روز خورده‌می‌شود. قطعه‌ای به اندازهٔ ۴ واحد در سه روز خورده می‌شود. روز نخست $4\div 2=2$، ۲ واحد از آن خورده می‌شود، روز دوم $2\div 2=1$، ۱ واحد از آن خورده می‌شود، و در روز سوم ۱ واحد باقیمانده. قطعه‌ای به اندازهٔ ۵ واحد در یک روز خورده می‌شود. قطعه‌ای به اندازهٔ ۶ واحد در دو روز خورده می‌شود. روز نخست $6\div 2=3$، ۳ واحد از آن خورده می‌شود و روز دوم ۳ واحد باقیمانده. ...

چیزی که روشن است این است که یک گوشت به اندازهٔ $n$ واحد به تعداد توان ۲ در تجزیه‌اش بعلاوهٔ یک روز خورده می‌شود که برابر است با $[\log_2^n]+1$ که $[...]$ علامت جزءصحیح است. پس اگر $n$ قطعه گوشت با اندازه‌های به ترتیب ۱، ۲، ۳، ...، $n$ داشته‌باشیم، آنگاه تعداد کل روزهایی که خرس می‌تواند با این $n$ قطعه با قانون آمده در متن پرسش زنده بماند برابر است با جمع زیر: $$\sum_{i=1}^n([\log_2^i]+1)$$ که ساده‌ می‌شود به $$\begin{array}{l} (\sum_{i=1}^n\log_2^i)+n\\ =([\frac{n}{2}]+[\frac{n}{2^2}]+[\frac{n}{2^3}]+\cdots)+n\\ =n+\sum_{k=1}^\infty[\frac{n}{2^k}] \end{array}$$ علامت مساوی اول را توجه کنید که مشابه با همان استدلالی که فرمول تعداد صفرهای سمت راست $n!$ را بدست می‌آوردید توجیه می‌شود. و در مساوی دوم توجه کنید که از یک $k$ای به بعد جزء صحیح‌ها صفر می‌شوند پس در واقع همیشه با یک جمع متناهی سر و کار دارید و بینهایت صفری که بعد از آن روی می‌دهد تأثیری در جمع ندارند.

برای نمونه اگر $n=10$ باشد آنگاه حاصل می‌شود $10+5+2+1=18$.

–1 امتیاز
قبل توسط mdardah
ویرایش شده قبل توسط mdardah

بنام خدا. فرض کنیم n عددی زوج باشد دراین صورت در n روز نصف قطعه ها که فرد هستند تمام می شودونصف قطعه ها که زوج هستند به صورت نصف شده ذخیره می گردد.بنابراین کل غذا در $ \frac{n}{2} +n= \frac{3n}{2} $ روز تمام میشود .

نکته:اگر منظور ٱن باشد که قطعه های ذخیره شده را که بصورت نصف شده قبلی می باشد را دوباره با اعداد زوج وفرد شماره گذاری کنیم وعمل غذا خوردن را مانند مرحله قبل تکرار کنیم جواب مسئله فرق میکند.واگرمنظور ٱن باشدکه فطعه های ذخیره شده برچسب زوج دارند این غذا در بینهایت روز تمام میشود.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...