قطعهای به اندازهٔ ۱ واحد در یک روز خوردهمیشود.
قطعهای به اندازهٔ ۲ واحد در دو روز خورده میشود. روز نخست $2\div 2=1$، ۱ واحد از آن خورده میشود و روز دوم ۱ واحد باقیمانده.
قطعهای به اندازهٔ ۳ واحد در یک روز خوردهمیشود.
قطعهای به اندازهٔ ۴ واحد در سه روز خورده میشود. روز نخست $4\div 2=2$، ۲ واحد از آن خورده میشود، روز دوم $2\div 2=1$، ۱ واحد از آن خورده میشود، و در روز سوم ۱ واحد باقیمانده.
قطعهای به اندازهٔ ۵ واحد در یک روز خورده میشود.
قطعهای به اندازهٔ ۶ واحد در دو روز خورده میشود. روز نخست $6\div 2=3$، ۳ واحد از آن خورده میشود و روز دوم ۳ واحد باقیمانده.
...
چیزی که روشن است این است که یک گوشت به اندازهٔ $n$ واحد به تعداد توان ۲ در تجزیهاش بعلاوهٔ یک روز خورده میشود که برابر است با $[\log_2^n]+1$ که $[...]$ علامت جزءصحیح است. پس اگر $n$ قطعه گوشت با اندازههای به ترتیب ۱، ۲، ۳، ...، $n$ داشتهباشیم، آنگاه تعداد کل روزهایی که خرس میتواند با این $n$ قطعه با قانون آمده در متن پرسش زنده بماند برابر است با جمع زیر:
$$\sum_{i=1}^n([\log_2^i]+1)$$
که ساده میشود به
$$\begin{array}{l}
(\sum_{i=1}^n\log_2^i)+n\\
=([\frac{n}{2}]+[\frac{n}{2^2}]+[\frac{n}{2^3}]+\cdots)+n\\
=n+\sum_{k=1}^\infty[\frac{n}{2^k}]
\end{array}$$
علامت مساوی اول را توجه کنید که مشابه با همان استدلالی که فرمول تعداد صفرهای سمت راست $n!$ را بدست میآوردید توجیه میشود. و در مساوی دوم توجه کنید که از یک $k$ای به بعد جزء صحیحها صفر میشوند پس در واقع همیشه با یک جمع متناهی سر و کار دارید و بینهایت صفری که بعد از آن روی میدهد تأثیری در جمع ندارند.
برای نمونه اگر $n=10$ باشد آنگاه حاصل میشود $10+5+2+1=18$.
