به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
188 بازدید
در دبیرستان توسط mahdiahmadileedari (2,568 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در زیر چند شکل می‌بینید که هر یک از تعدادی مربع رنگ‌شده و رنگ‌نشده تشکیل شده‌است. شکل پنجم چند مربعِ رنگ‌شده خواهد داشت؟

رابطه کلی این الگو را چطور میشه نوشت؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Elyas1 (4,093 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

اگر $n=2k+1$ فرد باشد، آنگاه طول بزرگترین مربع برابر با $4k+1$ خواهد شد. اما چگونه به این رابطه رسیدیم؟

شماره های فرد را می نویسیم و زیر آن اعدادی را می نویسیم که اگر با جمله ی متناظرش در بالا جمع شود طول بزرگترین مربع را می دهد:

$1,\space 3, \space 5, \space 7,\dots$

$0,\space 2, \space 4, \space 6,\dots$

دنباله دوم در حال تشکیل یک دنباله حسابی اند. پس جمله $k$ ٱم می شود: $a_k=2k$

می توانیم دنباله اول را اینگونه بنویسیم:

$2(0)+1, \space 2(1)+1, \space 2(2)+1 , \space 2(3)+1,\dots $

پس جمله عمومی دنباله اول به شکل $2k+1$ است. پس طول بزرگترین مربع در زمانی که $n$ فرد است می شود $2k+1+2k=4k+1$.

حال توجه کنید که در $n$ فرد که $n$ یک نیست، تعداد مربع های افزوده شده می شود:

$(4k+1)×4-4$

مثلاً تعداد مربع های رنگی افزوده شده در شکل $n=3=2(1)+1$ می شود:

$(4(1)+1)×4-4=16$

توجه‌ کنید که در شماره های زوج هیچ مربع رنگی افزوده نشده است. پس بیایید $t_n$ را تعداد مربع های رنگی در شکل شماره $n$ بنامیم. حال فرض کنید که $n$ فرد است. برای بدست آوردن تعداد مربع های رنگی در شکل $n$ ٱم اینگونه عمل می کنیم:

تعداد مربع های رنگی موجود در شکل اول که یکی است را با تعداد مربع های رنگی افزوده شده در شکل سوم ، پنجم، هفتم تا...$n$ ٱم جمع میکنیم.

$ t_{n=2k+1}=(4k+1)×4-4 + (4(k-1)+1)×4-4+...+(4(k-(k-1)+1)×4-4 +1 =16 \sum ^{k-1}_{i=0}(k-i) +1=16× \frac{k(k+1)}{2} +1=8k^2+8k+1=2n^2-1$

مثلاً در شکل شماره $n=5=2×2+1$ تعداد مربع های رنگی می شود:

$t_5= 2×25-1= 49$

حالا برای $n$ فرد تعداد مربع های سفید را بیابید. با توجه به بالا می شود(این پرسش شما نیست)

$(4k+1)^2-t_n=16k^2+8k+1-8k^2-8k-1=8k^2=2n^2-4n+1$

اما اگر $n$ زوج باشد چه کار کنیم؟

نیاز به پیدا کردن رابطه ی جدید نیست. اگر تعداد خانه های سفید را می خواهید، کافیست تعداد خانه های سفید شکل بعدی را پیدا کنید. اگر تعداد خانه های رنگی را می خواهید، تعداد خانه های رنگی شکل قبل را بیابید.

مثلاً تعداد خانه های رنگی $n=4$ را می خواهیم بیابیم. کافیست تعداد خانه های رنگی شکل $n=3$ را بیابید. پس تعداد خانه های رنگی $n=4$ می شود:

$t_4=t_3=2×9-1=17$

پس فرض کنید $n$ عددی زوج باشد. پس می توان نوشت:

$t_n=t_{n-1}=2(n-1)^2-1=2(n^2-2n+1)-1=2n^2-4n+1$

پس خلاصه اینکه اگر $n$ عددی فرد باشد، تعداد مربع های رنگی می شود

$t_n=2n^2-1$

و اگر $n$ زوج باشد تعداد مربع های رنگی می شود:

$t_n=2n^2-4n+1$

کد پایتون آن نیز به شکل زیر است:

n=int(input())
i=0
y=0
if n%2==1:
    k=n//2
    while i<k:
        y+=4*(k-i)
        i+=1
    print(4*y+1)
else:
    k=n//2-1
    while i<k:
        y+=4*(k-i)
        i+=1
    print(4*y+1)

وقتی که کد بالا را اجرا می کنید باید یک عدد به عنوان ورودی بدهید که همان $n$ است. مثلاً من ورودی را $4$ دادم که خروجی$17$ شد.

توضیحات تصویر

توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
+1
@Elyas1 چرا حالت ۱ را کنار می‌گذارید با توجه به اینکه $1=2k+1$ به شما $k=0$ را می‌دهد نباید مشکلی داشته‌باشید، $4k+1=1$ و ... . به هر حال +۱ :)
توسط Elyas1 (4,093 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1
+1
@AmirHosein ویرایش کردم ممنون.⁦⁦⁦◉‿◉⁩

علت اینکه گفتم شکل اول را کنار بگذاریم این است که من در یک جای پاسخ نوشتم « دنباله دوم در حال تشکیل دنباله حسابی اند که جمله $k$ ٱم آن برابر است با $a_k=2k$ » ولی اگر $k=1$ باشد، جمله اول برابر با $2$ می شود در حالی که جمله اول $0$ است. مگر اینکه بگیم که جمله صفرم داریم که آیا درست است؟ یا اینکه جمله را تغییر دهم؟
توسط AmirHosein (17,973 امتیاز)
+1
@Elyas1 نه مشکلی ندارد، دنبالهٔ $\lbrace a_k\rbrace$ می‌تواند از اندیس صفر شروع شود. مهم این است که شما یک $n$ دارید که از ۱ شروع می‌شود و یک $k$که از صفر شروع می‌شود چون به $n=2k+1$ اشاره کردید و شروع $n$ را ۱ گرفتید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...