مربعی به ضلع 7 می خواهیم به مربع هایی به ضلع 1، 2، 3 و یا 4 افراز کنیم به طوری که تعداد مربع های ایجاد شده کمترین باشد.

Question

مربعی به ضلع 7 می خواهیم به مربع هایی به ضلع 1، 2، 3 و یا 4 تقسیم(افراز) کنید به طوری که تعداد مربع های ایجاد شده کمترین باشد؟

حالت فضایی (سه بعدی) در پست https://math.irancircle.com/23758

مطرح شد اما از آنجایی که پاسخی داده نشد حالت خاص آن مطرح کردم.

Answer 1

ابتدا یک مربع ۴×۴ در یکی از گوشها بگذارید. در گوشه مقابل هم ۳ تا مربع ۲×۲ به صورت L قرار بدهیم. در دو گوشه دیگر هم ۲ تا مربع ۳×۳ می گذاریم. ۳ مربع کوچک ۱×۱ هم باقی می ماند.

استدلالی برای اینکه این ۹ تا کمترین تعداد ممکن است، ندارم. ولی به نظر درست می آید.

Answer 2

مسئله به صورت معادله سیاله تبدیل می کنیم. تعداد مربع 4در4، 3در3،2در2 و 1در1 به ترتیب x، y, z و t در نظر می گیریم. در این صورت داریم متغیرها عددهای حسابی هستند $$16x+9y+4z+t=49$$ حال می خواهیم که می نیمم wرا بیابیم به طور که بتوان مربع 7در7 پوشاند. $$w=x+y+z+t $$ واضح است که x حداکثر 3 می باشد.

• اگر $$x=3 \rightarrow 9y+4z+t=1 \Rightarrow y=z=0,t=1$$ در این صورت w برابر 4می باشه اما این ممکن نیست چون در مربع7در7 حداکثر یک مربع 4در4 می توان قرار داد.
• اگر $$x=1\rightarrow 9y+4z+t=33$$ مانند مورد قبل yحداکثر 3 می باشه در این حالت $$y=3 \rightarrow 4z+t=6 $$ این معادله دو جواب دارد یکی $z=1,t=2 \Rightarrow w=7 $

اما با این جواب نمی توان مربع7در7پوشاند. اما جواب دوم $$z=0,t=6 \Rightarrow w=10 $$ فعلا این جواب می باشه.

اگرy برابر 2 باشه $$y=2 \rightarrow 4z+t=15$$ این معادله چهار جواب قابل قبول زیراز لحاظ پوشاندن مربع داره $$z=3,t=3 \Rightarrow w=9$$ $$z\leq2,t\geq7\Rightarrow w\geq12$$ بنابراین ازبین تمام جوابهای بدست آمده فقط یه مورد قابل قبول می باشه یعنی $$x=1,y=2,z=t=3 \Rightarrow w=9 $$ - برای حالت x مساوی صفر هم می توان بررسی نمود این حالت خودتان می توانید بررسی کنید.