واضح است که این کار برای اعداد یک رقمی مقدور نیست زیرا مجموع اعداد 39 است که بر 2 بخش پذیر نیست.حالا فرض کنید که به صورت اعداد دو رقمی با این ارقام داده شده داشته باشیم:
\overline{ab} + \overline{cd} = \overline{xy} + \overline{zw} , x+y+z+w>a+b+c+d
\Rightarrow 10a+b+10c+d=10x+y+10z+w
\Rightarrow 9[(a+c)-(y+w)]=(x+y+z+w)-(a+b+c+d)
\Rightarrow 9 \mid (x+y+z+w)-(a+b+c+d),(x+y+z+w)-(a+b+c+d) \leq 19(?)
\Rightarrow (x+y+z+w)-(a+b+c+d)=0 \vee 9 \vee 18
بنابه قسمت اول صفر امکان پذیر نیست.حالت 18 هم مقدور نیست زیرا با توجه به اینکه:
x+y+z+w+a+b+c+d=39
باید داشته باشیم:
x+y+z+w=28.5
که امکان ندارد.پس باید داشته باشیم:
(x+y+z+w)-(a+b+c+d)=9
\Rightarrow (a+c)-(x+z)=1 \Rightarrow (b+d)-(y+w)=10
که حالات ممکن آن عبارت است از:
(b+d)-(x+z)=10=17-7=16-6=15-5=14-4=13-3
با کمی حوصله به جوابهای زیر می رسیم:
39+48=12+75 , 39+57=12+84 , 48+57=12+93 , 29+85=41+73 , 39+84=71+52
حالا اگر در هر طرف تساوی جای یکان ها را عوض کنیم باز هم تساوی درست است.همچنین برای دهگان ها و جوابهای دیگری را به دست آورد.
برای حالت سه رقمی فرض کنید:
\overline{xyz} +w= \overline{abc}+d
\Rightarrow 100x+10y+z+w=100a+10b+c+d
9[(11a+b)-(11x+y)]=(x+y+z+w)-(a+b+c+d)
حالا اگر استدلال قبلی را تکرار کنیم باید:
(z+w)-(c+d)=10(x-a)+10
حلال با توجه به اینکه \mid a-x\mid =1 (چرا؟) پس طرف راست تساوی اخیر صفر یا 20 است.حالت 20 نیز امکان ندارد.(چرا؟).
\Rightarrow z+w=c+d \Rightarrow 100x+10y=100a+10b \Rightarrow 10x+y=10a+b \Rightarrow x=a,y=b \bot
پس در حالت سه رقمی مسأله جواب ندارد.
\Box
