واضح است که این کار برای اعداد یک رقمی مقدور نیست زیرا مجموع اعداد $39$ است که بر $2$ بخش پذیر نیست.حالا فرض کنید که به صورت اعداد دو رقمی با این ارقام داده شده داشته باشیم:
$ \overline{ab} + \overline{cd} = \overline{xy} + \overline{zw} , x+y+z+w>a+b+c+d$
$ \Rightarrow 10a+b+10c+d=10x+y+10z+w $
$\Rightarrow 9[(a+c)-(y+w)]=(x+y+z+w)-(a+b+c+d)$
$ \Rightarrow 9 \mid (x+y+z+w)-(a+b+c+d),(x+y+z+w)-(a+b+c+d) \leq 19(?)$
$ \Rightarrow (x+y+z+w)-(a+b+c+d)=0 \vee 9 \vee 18$
بنابه قسمت اول صفر امکان پذیر نیست.حالت $18$ هم مقدور نیست زیرا با توجه به اینکه:
$x+y+z+w+a+b+c+d=39$
باید داشته باشیم:
$x+y+z+w=28.5$
که امکان ندارد.پس باید داشته باشیم:
$(x+y+z+w)-(a+b+c+d)=9$
$ \Rightarrow (a+c)-(x+z)=1 \Rightarrow (b+d)-(y+w)=10$
که حالات ممکن آن عبارت است از:
$ (b+d)-(x+z)=10=17-7=16-6=15-5=14-4=13-3$
با کمی حوصله به جوابهای زیر می رسیم:
$39+48=12+75$ , $39+57=12+84$ , $48+57=12+93$ , $29+85=41+73$ , $39+84=71+52$
حالا اگر در هر طرف تساوی جای یکان ها را عوض کنیم باز هم تساوی درست است.همچنین برای دهگان ها و جوابهای دیگری را به دست آورد.
برای حالت سه رقمی فرض کنید:
$ \overline{xyz} +w= \overline{abc}+d$
$ \Rightarrow 100x+10y+z+w=100a+10b+c+d$
$9[(11a+b)-(11x+y)]=(x+y+z+w)-(a+b+c+d) $
حالا اگر استدلال قبلی را تکرار کنیم باید:
$(z+w)-(c+d)=10(x-a)+10$
حلال با توجه به اینکه $ \mid a-x\mid =1$ (چرا؟) پس طرف راست تساوی اخیر صفر یا $20$ است.حالت $20$ نیز امکان ندارد.(چرا؟).
$ \Rightarrow z+w=c+d \Rightarrow 100x+10y=100a+10b \Rightarrow 10x+y=10a+b \Rightarrow x=a,y=b \bot $
پس در حالت سه رقمی مسأله جواب ندارد.
$ \Box $
