ارتفاعات مثلث دلخواه، نیمسازهای داخلی زوایای مثلث ارتفاعیه اند

Question

ارتفاعات مثلث دلخواه ABC، نیمسازهای داخلی زوایای مثلث ارتفاعیه اند. H مرکز ارتفاعی و DEF مثلث ارتفاعیه مثلث ABC با زاویه های حاده است. ثابت کنید H مرکز دایره محاطی مثلث DEF است.

Comments

@ft1376 پرسش‌تان را واضح‌تر بنویسید. مثلث ارتفاعیه دیگر چه هست؟ اگر منظورتان مثلثی ساخته‌شده بوسیلهٔ سه ارتفاع مثلث اولیه است، آنگاه برای نمونه حالت سه‌گوش متساوی‌الأضلاع را در نظر بگیرید. ارتفاع‌ها یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند و سه‌گوشی بوسیلهٔ این سه خط ساخته نمی‌شود. احتمالا منظورتان از مرکز ارتفاعی نیز نقطهٔ همرسی سه ارتفاع است. کمی بیشتر بنویسید به خودتان کمک می‌شود تا افراد بیشتری به پرسش شما علاقه نشان دهند.

Answer 1

مثلث ارتفاعی یا مثلث پادک: مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. اگر پای ارتفاع وارد بر BC را D و پای ارتفاع وارد بر $AC$ را E و پای ارتفاع وارد بر $AB$ را $F$ بنامیم و سپس این نقاط را به صورت متوالی به هم وصل کنیم، آنگاه مثلث DEF مثلث ارتفاعی یا مثلث پادک نام دارد.

خودتان گفته اید که ارتفاع های مثلث $ABC$ نیمساز های زوایای مثلث $DEF$ است.( که البته شما می توانید آن را با چهار ضلعی های محاطی اثبات کنید). از طرفی هم نیمساز های مثلث $DEF$ که ارتفاع های مثلث ABC هستند در نقطه H همرس اند، پس H مرکز دایره محاطی مثلث $DEF$ است، زیرا در غیر این صورت سه خط در دو نقطه همرس خواهند شد، که ناممکن است. زیرا دو خط در دو نقطه همدیگر را قطع کرده اند که این تناقض با اصل اول اقلیدس است.( اصل اول اقلیدس می گوید که از دو نقطه تنها یک خط گذراست)