Question

هرگاه یک زاویه از مثلثی با یک زاویه از مثلث دیگر برابر باشد و ارتفاعات نظیر دو ضلع این زاویه متناسب باشد آن دو مثلث متشابه اند

Answer 1

به نام خدا.

دو مثلث $ABC$ و$A'B'C'$ را در نظر بگیرید. حال فرض کنید که $\angle B= \angle B'$ حال ارتفاع وارد بر $BC$ را $AH$ و ارتفاع وارد بر$AB$ را$CM$ و همینطور ارتفاع وارد بر $B'C'$ را $A'H'$ و بر ضلع $A'B'$ را $C'M'$.

طبق فرض مسئله میدانیم که:

$\frac{AH}{A'H'}= \frac{CM}{C'M'}=k$

حال با توجه به اینکه می دانیم دو زاویه برابرند نتیجه زیر بدست می آید:

$sinB=sinB' \Longrightarrow \frac{AH}{AB}= \frac{A'H'}{A'B'} \Longrightarrow \frac{AB}{A'B'}= \frac{AH}{A'H'}=k$

به طور مشابه می توان نشان داد که:

$\frac{BC}{B'C'}= \frac{CM}{C'M'}=k$

حال واضح است که بنابر تناسب دو ضلع و برابری زاویه بین آن ها دو مثلث متشابه اند.