بنام خدا.اگر$ s_{n} $هارا به ترتیب زیر هم بنویسیم
$1................................$
$1+2..........................$
$1+2+3...................$
.
$1+2+3+......+20$
$20 \times 1+19 \times 2+18 \times 3+....+11 \times 10+10 \times 11+...+1 \times 20$
اگر خوب دقت کنید نصف جمله ها تکراری است بنابراین مجموع نصف جمله ها را بدست می آوریم وحاصل را دو برابر می کنیم.
$20................$
$19 \times 2=20+18........$
$18 \times 3=20+18+16$
اگر این جملات را تا$11 \times 10$
بدست آوریم داریم
$ (10)(20)+(9)(18)+(8)(16)+...+(1)(2)= 2( 10^{2} )+2( 9^{2} )+...+2( 1^{2} )$
اگراز فرمول مجموع مربعات اعداد طبیعی استفاده کنیم و از عدد2فاکتور بگیریم داریم
$ 2S_{n} =2 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=2 \times \frac{10(10+1)(20+1)}{6}=770 $
چون این عدد نصف حاصل جملات است جواب مسئله $2 \times 770=1540$خواهد بود.
روش دوم: فرمول روش قبل را ساده کنیم
$ S_{n} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{(20 \times 21 \times 22)}{6}=1540$
